Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(﹣3，4)、B(﹣3，0)、C(﹣1，0)．以D為頂點(diǎn)的拋物線y＝ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)B．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA邊向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD交BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G．

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BDGQ的面積最大？最大值為多少？

(3)動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使△PQF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)當(dāng)t＝2時(shí)，S有最大值為2；(3)存在，t＝或或2．

【解析】

(1)先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，設(shè)頂點(diǎn)式，代入點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求出拋物線的解析式．

(2)根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，分別表示出EG、BQ、AF、EP的長(zhǎng)度，表示S，配方求最值即可．

(3)分別表示點(diǎn)P、Q、F的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式表示線段長(zhǎng)度，分三種情況討論即可．

解：(1)∵A(﹣3，4)、B(﹣3，0)、C(﹣1，0)，

∴D(﹣1，4)，

∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x+1)2+4，代入點(diǎn)B，

0＝a(﹣3+1)2+4，

解得a＝﹣1，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3．

(2)由題意可知，DP＝BQ＝t，

∵tan∠BDC＝，

∴EP＝t，

∴G的橫坐標(biāo)為﹣1﹣t，

∴G(﹣1﹣t，4﹣)，

∴EG＝t﹣，

S△DGE＝(t﹣)＝﹣，

SQBEG＝(t﹣+t)(2﹣)＝，

∴S＝2t﹣ ＝﹣(t﹣2)2+2，

∵﹣＜0，

∴當(dāng)t＝2時(shí)，S有最大值為2．

(3)∵P(﹣1，4﹣t)，Q(﹣3，t)，F(﹣1﹣，4)，

∴PQ＝，PF＝，QF＝，

①PQ＝PF，

，

解得t1＝4(舍)，t2＝；

②PQ＝QF，

，

解得t1＝0(舍)，t2＝；

③PF＝QF，

，

解得t＝2．

綜上所述：t＝或或2．