Question

【題目】如圖，已知拋物線的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（5，0），另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C（0，5）。

（1）求直線BC與拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，求MN的最大值；

（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1，△ABN的面積為S2，且S1=6S2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】解：（1）設(shè)直線BC的解析式為，

將B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴直線BC的解析式為。

將B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴拋物線的解析式。

（2）∵點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)M。

∵點(diǎn)N是直線BC上與點(diǎn)M橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)，∴N。

∵當(dāng)點(diǎn)M在拋物線在x軸下方時(shí)，N的縱坐標(biāo)總大于M的縱坐標(biāo)。

∴。

∴MN的最大值是。

（3）當(dāng)MN取得最大值時(shí)，N。

∵的對(duì)稱軸是，B（5，0），∴A（1，0）。∴AB=4。

∴。

由勾股定理可得，。

設(shè)BC與PQ的距離為h，則由S1=6S2得：，即。

如圖，過點(diǎn)B作平行四邊形CBPQ的高BH，過點(diǎn)H作x軸的垂線交點(diǎn)E ，則BH=，EH是直線BC沿y軸方向平移的距離。

易得，△BEH是等腰直角三角形，

∴EH=。

∴直線BC沿y軸方向平移6個(gè)單位得PQ的解析式：

或。

當(dāng)時(shí)，與聯(lián)立，得

，解得或。此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－1，12）或（6，5）。

當(dāng)時(shí)，與聯(lián)立，得

，解得或。此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，－3）或（3，－4）。

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。

【解析】（1）由B（5，0），C（0，5），應(yīng)用待定系數(shù)法即可求直線BC與拋物線的解析式。

（2）構(gòu)造MN關(guān)于點(diǎn)M橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求解。

（3）根據(jù)S1=6S2求得BC與PQ的距離h，從而求得PQ由BC平移的距離，根據(jù)平移的性質(zhì)求得PQ的解析式，與拋物線聯(lián)立，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)。