Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，4），線段BC的中垂線與對稱軸l交于點D，與x軸交于點F，與BC交于點E，對稱軸l與x軸交于點H．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）求點D的坐標；

（3）點P為x軸上一點，⊙P與直線BC相切于點Q，與直線DE相切于點R．求點P的坐標；

（4）點M為x軸上方拋物線上的點，在對稱軸l上是否存在一點N，使得以點D，P，M．N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，則直接寫出N點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線表達式為：y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+4；（2）點D坐標為（﹣1，1）；（3）點P坐標為（，0）或（7，0）；（4）存在（﹣1，）、（﹣1，）、（﹣1，﹣）

【解析】（1）利用待定系數(shù)法問題可解；

（2）依據(jù)垂直平分線性質(zhì)，利用勾股定理構造方程；

（3）由題意畫示意圖可以發(fā)現(xiàn)由兩種可能性，確定方案后利用銳角三角函數(shù)定義構造方程，求出半徑及點P坐標；

（4）通過分類討論畫出可能圖形，注意利用平行四邊形的性質(zhì)，同一對角線上的兩個端點到另一對角線距離相等．

（1）∵拋物線過點A（﹣4，0），B（2，0）

∴設拋物線表達式為：y=a（x+4）（x﹣2）

把C（0，4）帶入得

4=a（0+4）（0﹣2）

∴a=﹣，

∴拋物線表達式為：y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+4

（2）由（1）拋物線對稱軸為直線x=﹣=﹣1，

∵線段BC的中垂線與對稱軸l交于點D，

∴點D在對稱軸上，

設點D坐標為（﹣1，m），

過點C做CG⊥l于G，連DC，DB，

∴DC=DB，

在Rt△DCG和Rt△DBH中

∵DC2=12+（4﹣m）2，DB2=m2+（2+1）2

∴12+（4﹣m）2=m2+（2+1）2

解得：m=1

∴點D坐標為（﹣1，1）；

（3）∵點B坐標為（2，0），C點坐標為（0，4）

∴BC=，

∵EF為BC中垂線

∴BE=

在Rt△BEF和Rt△BOC中，

cos∠CBF=,

∴,

∴BF=5，EF=，OF=3

設⊙P的半徑為r，⊙P與直線BC和EF都相切，

如圖：

①當圓心P1在直線BC左側時，連P1Q1，P1R1，則P1Q1=P1R1=r1

∴∠P1Q1E=∠P1R1E=∠R1EQ1=90°

∴四邊形P1Q1ER1是正方形

∴ER1=P1Q1=r1

在Rt△BEF和Rt△FR1P1中

tan∠1=，

∴，

∴r1=，

∵sin∠1=，

∴FP1=，OP1=，

∴點P1坐標為（，0）

②同理，當圓心P2在直線BC右側時，

可求r2=，OP2=7

∴P2坐標為（7，0）

∴點P坐標為（，0）或（7，0）

（4）存在，

當點P坐標為（，0）時，

①若DN和MP為平行四邊形對邊，則有DN=MP

當x=時，y=﹣，

∴DN=MP=

∴點N坐標為（﹣1，）

②若MN、DP為平行四邊形對邊時，M、P點到ND距離相等

則點M橫坐標為﹣

則M縱坐標為﹣，

由平行四邊形中心對稱性可知，點M到N的垂直距離等于點P到點D的垂直距離，

當點N在D點上方時，點N縱坐標為，

此時點N坐標為（﹣1，），

當點N在x軸下方時，點N坐標為（﹣1，﹣），

當點P坐標為（7，0）時，所求N點不存在．

故答案為：（﹣1，）、（﹣1，）、（﹣1，﹣）