Question

【題目】已知銳角△ABC中，邊BC長(zhǎng)為12，高AD長(zhǎng)為8．
（1）如圖，矩形EFGH的邊GH在BC邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)E、F分別在AB、AC邊上，EF交AD于點(diǎn)K．
①求 的值；
②設(shè)EH=x，矩形EFGH的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；
（2）若AB=AC，正方形PQMN的兩個(gè)頂點(diǎn)在△ABC一邊上，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在△ABC的另兩邊上，直接寫出正方形PQMN的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵EF∥BC，

∴ ，

∴ = ，

即 的值是 ．

②∵EH=x，

∴KD=EH=x，AK=8﹣x，

∵ = ，

∴EF= ，

∴S=EHEF= x（8﹣x）=﹣ +24，

∴當(dāng)x=4時(shí)，S的最大值是24．

（2）解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，

① 當(dāng)正方形PQMN的兩個(gè)頂點(diǎn)在BC邊上時(shí)，

，

解得a= ．

②當(dāng)正方形PQMN的兩個(gè)頂點(diǎn)在AB或AC邊上時(shí)，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD=12÷2=6，

∴AB=AC= ，

∴AB或AC邊上的高等于：

ADBC÷AB

=8×12÷10

=

∴ ，

解得a= ．

綜上，可得

正方形PQMN的邊長(zhǎng)是 或

【解析】（1）①根據(jù)EF∥BC，可得 ，所以 ，據(jù)此求出 的值是多少即可．②首先根據(jù)EH=x，求出AK=8﹣x，再根據(jù) = ，求出EF的值；然后根據(jù)矩形的面積公式，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法，求出S的最大值是多少即可．（2）根據(jù)題意，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，分兩種情況：①當(dāng)正方形PQMN的兩個(gè)頂點(diǎn)在BC邊上時(shí)；②當(dāng)正方形PQMN的兩個(gè)頂點(diǎn)在AB或AC邊上時(shí)；分類討論，求出正方形PQMN的邊長(zhǎng)各是多少即可．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的最值和矩形的性質(zhì)，掌握如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a；矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等即可以解答此題．