Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=10，將∠MPN的頂點(diǎn)P在矩形ABCD的邊AD上滑動(dòng)，在滑動(dòng)過(guò)程中，始終保持∠MPN=90°，射線PN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，射線PM交直線AB于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F．

（1）求證：△AEP∽△DPC；

（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)E與點(diǎn)B能重合嗎？如果能重合，求DP的長(zhǎng)；

（3）是否存在這樣的點(diǎn)P使△DPC的面積等于△AEP面積的4倍？若存在，求出AP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)證明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析；(2)點(diǎn)E與點(diǎn)B能重合，B，E重合時(shí)DP的長(zhǎng)為1或9；(3) 存在滿足條件的點(diǎn)P，AP=1.5.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，推出∠D=∠A=90°，再由直角三角形的性質(zhì)，得出∠PCD+∠DPC=90°，又因∠CPE=90°，推出∠EPA+∠DPC=90°，∠PCD=∠EPA，從而證明△CDP∽△PAE；

（2）利用當(dāng)B，E重合時(shí)，利用已知得出△ABP∽DPC，進(jìn)而求出DP的長(zhǎng)即可；

（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，設(shè)DP=x，則AP=10﹣x，由△CDP∽△PAE知，求出DP即可．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，

∴∠PCD+∠DPC=90°，

又∵∠CPE=90°，

∴∠EPA+∠DPC=90°，

∴∠PCD=∠EPA，

∴△AEP∽△DPC；

（2）假設(shè)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)E能與點(diǎn)B重合，

當(dāng)B，E重合時(shí)，

∵∠BPC=90°，

∴∠APB+∠DPC=90°，

∵∠DPC+∠DCP=90°，

∴∠DCP=∠APB，

∵∠A=∠D，

∴△ABP∽DPC，

∴，

即，

解得：DP=1或9，

∴B，E重合時(shí)DP的長(zhǎng)為1或9；

（3）存在滿足條件的點(diǎn)P，

∵△CDP∽△PAE，

根據(jù)使△DPC的面積等于△AEP面積的4倍，得到兩三角形的相似比為2，

∴=2，

即=2，

解得AP=1.5.