【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原點O,頂點為C.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式.
(2)設(shè)點D在拋物線上,點E在拋物線的對稱軸上,若四邊形AODE是平行四邊形,求點D的坐標.
(3)聯(lián)接BC交x軸于點F.y軸上是否存在點P,使得△POC與△BOF相似?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),

將點A(﹣2,0),B(﹣3,3),O(0,0),代入可得: ,

解得: ,

故拋物線函數(shù)解析式為:y=x2+2x


(2)解:∵AO為平行四邊形的一邊,

∴DE∥AO,DE=AO,

∵A(﹣2,0),

∴DE=AO=2,

∵四邊形AODE是平行四邊形,

D在對稱軸x=﹣1的右側(cè),D點橫坐標為:﹣1+2=1,帶入拋物線解析式得y=3,

∴D的坐標為(1,3)


(3)解:在y軸上存在點P,使得△POC與△BOF相似,理由如下:

由y=x2+2x,頂點C的坐標為(﹣1,1),

∵tan∠BOF= =1,

∴∠BOF=45°,

當點P在y軸的負半軸時,tan∠COP= =1,

∴∠COP=45°,

∴∠BOF=∠COP,

設(shè)BC的解析式為y=kx+b(k≠0),

∵圖象經(jīng)過B(﹣3,3),C(﹣1,﹣1)

,

,

∴y=﹣2x﹣3;

令y=0,則x=﹣1.5.

∴F(﹣1.5,0),

∴OB=3 ,OF=1.5,OC= ,

①當△POC∽△FOB時,

= ,

=

∴OP= ,

∴P(0,﹣ );

②當△POC∽△BOF時,

= ,

∴OP=4,

∴P(0,﹣4),

∴當△POC與△BOF相似時,點P的坐標為(0,﹣ )或(0,﹣4).


【解析】(1)主要考察拋物線的解析式,只需將已知點代入y=ax2+bx+c(a≠0),即可解出a、b、c帶入原式得到拋物線的解析式。
(2)把拋物線和平行四邊形結(jié)合起來考察,利用平行四邊形的特征找到于AO平行且相等的線段,且兩端點分別在拋物線和拋物線的對稱軸上,由對稱軸得出橫坐標,代入拋物線方程解出D點坐標,解題思路主要是平行四邊形性質(zhì)結(jié)合拋物線方程。
(3)相似三角形對應(yīng)邊的比值相等,解題思路利用拋物線解出過點AB的方程,根據(jù)直線方程得到F坐標,三角形要相似,對應(yīng)邊的比值要相等,從而找到P點坐標,此題主要考察三角形相似的性質(zhì),直線方程與拋物線結(jié)合,還用到解直角三角形。整個大題最容易被扣分的就是有多種情況,容易做漏,所以我們在考慮時應(yīng)該假設(shè)多種情況一一排除。

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