Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸分別交于A（﹣3，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)E（﹣1，4），對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)F．

（1）請(qǐng)直接寫出這條拋物線和直線AE、直線AC的解析式；

（2）連接AC、AE、CE，判斷△ACE的形狀，并說明理由；

（3）如圖2，點(diǎn)D是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為m，且﹣3＜m＜﹣1，過點(diǎn)D作DK⊥x軸于點(diǎn)K，DK分別交線段AE、AC于點(diǎn)G、H．在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，

①DG、GH、HK這三條線段能否相等？若相等，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不相等，請(qǐng)說明理由；

②在①的條件下，判斷CG與AE的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝2x+6，y＝x+3；（2）直角三角形，見解析；（3）①相等，（﹣2，3）；②AE＝2CG

【解析】

（1）設(shè)頂點(diǎn)式，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，再化為一般式，根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于3即可求出a的值，由此可得拋物線解析式，設(shè)直線AE和AC的解析式，再分別將A點(diǎn)、E點(diǎn)代入即可求出直線AE的解析式，將A點(diǎn)、C點(diǎn)代入即可求出直線AC解析式；

（2）分別求出AC2，CE2，AE2，利用勾股定理的逆定理即可判定；

（3）①設(shè)出點(diǎn)D、G、H的坐標(biāo)，表示DG、HK、GH長(zhǎng)度，先根據(jù)DG＝HK列出方程求得x值，再據(jù)此求得DG、HK、GH長(zhǎng)度，即可得解；②分別求出CG和AE的長(zhǎng)度，即可得出它們的數(shù)量關(guān)系．

解：（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）2+4＝ax2+2ax+a+4，

故a+4＝3，解得：a＝﹣1，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3；

設(shè)直線AE的解析式為：，

將點(diǎn)A（﹣3，0）、E（﹣1，4）的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得

，

解得：，

故直線AE的表達(dá)式為：y＝2x+6，

設(shè)直線AC的解析式為：，
將點(diǎn)A（﹣3，0）、C（0，3）的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得

，

解得：，

故直線AC的表達(dá)式為：y＝x+3；

（2）點(diǎn)A、C、E的坐標(biāo)分別為：（﹣3，0）、（0，3）、（﹣1，4），

則AC2＝=18，CE2＝=2，AE2＝=20，

故AC2+CE2＝AE2，則△ACE為直角三角形；

（3）①設(shè)點(diǎn)D、G、H的坐標(biāo)分別為：（x，﹣x2﹣2x+3）、（x，2x+6）、（x，x+3），

DG＝﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6＝﹣x2﹣4x﹣3；HK＝x+3；GH＝2x+6﹣x﹣3＝x+3；

當(dāng)DG＝HK時(shí)，﹣x2﹣4x﹣3＝x+3，解得：x＝﹣2或﹣3（舍去﹣3），故x＝﹣2，

當(dāng)x＝﹣2時(shí)，DG＝HK＝GH＝1，

故DG、GH、HK這三條線段相等時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（﹣2，3）；

②由①的點(diǎn)G的坐標(biāo)為：（﹣2，2）

CG＝＝；AE＝＝2，

故AE＝2CG．