Question

【題目】已知二次函數(shù)y=x2–kx+k–1（k＞2）．

（1）求證：拋物線y=x2–kx+k-1（k＞2）與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，若ΔOAC的面積是，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）y=x2-4x+3

【解析】

（1）先計(jì)算判別式的值得到△=(k﹣2)2，利用k＞2，可判斷△＞0，于是根據(jù)△=b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，解方程x2﹣kx+k﹣1=0得x=k﹣1或x=1，利用k＞2，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)得到A(1，0)，B(k﹣1，0)，再表示出C(0，k﹣1)，然后根據(jù)ΔOAC的面積是，解方程求出k即可得到拋物線的表達(dá)式．

（1）∵△=(﹣k)2﹣4×1×(k﹣1)=(k﹣2)2，

又∵k＞2，

∴(k﹣2)2＞0，即△＞0，

∴拋物線y=x2﹣kx+k﹣1與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）∵拋物線y=x2﹣kx+k﹣1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，

∴令y=0，有x2﹣kx+k﹣1=0，解得：x=k﹣1或x=1．

∵k＞2，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴A(1，0)，B(k﹣1，0)．

∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，

∴C(0，k﹣1)．

∵，

∴k-1=3，解得：k=4，

∴拋物線的表達(dá)式為y=x2﹣4x+3．