【題目】如圖,在矩形OABC中,點O為原點,點A的坐標為(08),點C的坐標為(6,0).拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點AC,與AB交于點D

1)求拋物線的函數(shù)解析式;

2)點P為線段BC上一個動點(不與點C重合),點Q為線段AC上一個動點,AQCP,連接PQ,設CPm,CPQ的面積為S

①求S關(guān)于m的函數(shù)表達式;

②當S最大時,在拋物線y=﹣x2+bx+c的對稱軸l上,若存在點F,使DFQ為直角三角形,請直接寫出所有符合條件的點F的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1y=﹣x2+x+8;(2)①S=﹣m2+3m;②滿足條件的點F共有四個,坐標分別為F18),F2,4),F36+),F4,6).

【解析】

1)將AC兩點坐標代入拋物線yx2bxc,即可求得拋物線的解析式;

2)①先用m表示出QE的長度,進而求出三角形的面積S關(guān)于m的函數(shù);

②先求出m=5S取最大值,再根據(jù)DFQ為直角三角形分情況求出F的坐標.

1)將A、C兩點坐標代入拋物線,得

,

解得:

拋物線的解析式為y=﹣x2+x+8;

2①∵OA8,OC6

AC10,

過點QQEBCE點,則sin∠ACB

,

QE10m),

SCPQEm×10m)=﹣m2+3m

②∵S=﹣m2+3m=﹣m52+,

m5時,S取最大值;

在拋物線對稱軸l上存在點F,使FDQ為直角三角形,

拋物線的解析式為y=﹣x2+x+8的對稱軸為x,

D的坐標為(38),

∵CP=AQ=5,

CQ=5

Q點作QGx軸,

sin∠ACO==

QG=4

CG=

OG=CO-CG=3

Q3,4),

Fn),

FDQ90°時,則F在直線AB上,

F1,8),

FQD90°時,則F的縱坐標與Q點縱坐標相同,

F2,4),

DFQ90°時,設F,n),

FD2+FQ2DQ2,

+8n2++n4216,

解得:n

F36+),F4,6),

滿足條件的點F共有四個,坐標分別為F1,8),F2,4),F36+),F4,6).

練習冊系列答案
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