【題目】如圖,RtOAB的直角邊OAx軸上,頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,8),直線CDAB于點(diǎn)D(6,3),交x軸于點(diǎn)C(12,0).

(1)求直線CD的函數(shù)表達(dá)式;

(2)動點(diǎn)Px軸上從點(diǎn)(﹣10,0)出發(fā),以每秒1個單位的速度向x軸正方向運(yùn)動,過點(diǎn)P作直線l垂直于x軸,設(shè)運(yùn)動時間為t.

①點(diǎn)P在運(yùn)動過程中,是否存在某個位置,使得∠PDA=B?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

②請?zhí)剿鳟?dāng)t為何值時,在直線l上存在點(diǎn)M,在直線CD上存在點(diǎn)Q,使得以OB為一邊,O,B,M,Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,并求出此時t的值.

【答案】(1)直線CD的解析式為y=﹣x+6;(2)①滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為(,0)或(,0).②滿足條件的t的值為

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題;

(2)①如圖1中,作DPOB,則∠PDA=B.利用平行線分線段成比例定理,計算即可,再根據(jù)對稱性求出P′;

②分兩種情形分別求解即可解決問題:如圖2中,當(dāng)OP=OB=10時,作PQOBCDQ.如圖3中,當(dāng)OQ=OB時,設(shè)Q(m,﹣m+6),構(gòu)建方程求出點(diǎn)Q坐標(biāo)即可解決問題;

1)設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,則有

,

解得

∴直線CD的解析式為y=﹣x+6.

(2)①如圖1中,作DPOB,則∠PDA=B.

DPOB,

,

,

OP=6﹣

P(,0),

根據(jù)對稱性可知,當(dāng)AP=AP′時,P′(,0),

∴滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為(,0)或(,0).

②如圖2中,當(dāng)OP=OB=10時,作PQOBCDQ.

∵直線OB的解析式為y=x,

∴直線PQ的解析式為y=x+,

,

解得,

Q(﹣4,8),

PQ==10,

PQ=OB.

PQOB,

∴四邊形OBQP是平行四邊形.

OB=OP,

∴四邊形OBQP是菱形,此時點(diǎn)M與的Q重合,滿足條件,t=0.

如圖3中,當(dāng)OQ=OB時,設(shè)Q(m,﹣m+6),

則有m2+(﹣m+6)2=102,解得m=,

∴點(diǎn)Q 的橫坐標(biāo)為

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為a,則有:

a=,

∴滿足條件的t的值為

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