【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4.在AD上取一點(diǎn)E,AE=1,點(diǎn)F是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以EF為一邊作菱形EFMN,使點(diǎn)N落在CD邊上,點(diǎn)M落在矩形ABCD內(nèi)或其邊上.若AF=x,△BFM的面積為S.
(1)當(dāng)四邊形EFMN是正方形時(shí),求x的值;
(2)當(dāng)四邊形EFMN是菱形時(shí),求S與x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)x= 時(shí),△BFM的面積S最大;當(dāng)x= 時(shí),△BFM的面積S最;
(4)在△BFM的面積S由最大變?yōu)樽钚〉倪^(guò)程中,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路線(xiàn)長(zhǎng): 。
【答案】(1)x=3;(2)S=;(3);(4)
【解析】
(1)利用AAS證明△DEN≌△AFE即可解決問(wèn)題;
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB于H,連接NF,證明△DEN≌△HMF,可得MH=DE=3,由此即可解決問(wèn)題;
(3)①如備用圖①中,當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí),x的值最小,△FBM的面積最大,在Rt△AEF中,x=,推出S的最大值=12-3;②如備用圖②,當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí),x的值最大,△FBM的面積最;
(4)如備用圖③中,在△BFM的面積S由最大變?yōu)樽钚〉倪^(guò)程中,點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是平行AB的線(xiàn)段,點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路線(xiàn)長(zhǎng)=BF的長(zhǎng)=8-2.
(1)在正方形EFMN中,∠FEN=90°,EF=EN,
∴ ∠DEN+∠AEF=90°,
在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,
∴ ∠AEF+∠AFE=90°,
∴ ∠DEN=∠AFE,
在△DEN與△AFE中,
,
∴△DEN≌△AFE(AAS),
∴AF=DE=4-1=3,
∴x的值為3;
(2)過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB于H,連接NF,
在矩形ABCD中,∵AB∥CD,
∴∠DNF=∠NFB,
∵四邊形EFMN是菱形,
∴NE‖MF ,NE=MF,
∴∠ENF=∠MFN,
∴∠DNE=∠MFB ,
在△DEN與△HMF中,
,
∴△DEN≌△HMF(AAS),
∴MH=DE=3,BF=8-x,
;
(3)①如備用圖①中,當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí),x的值最小,△FBM的面積最大,
在Rt△AEF中,x=,
∴S的最大值=12-3;
②如備用圖②,當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí),x的值最大,△FBM的面積最小,
此時(shí)易得CN=AF=x,
∵EN=EF,
∴12+x2=32+(8-x)2,
∴x=,
∴S的最小值為,
故答案為:2,;
(4)如備用圖③中,在△BFM的面積S由最大變?yōu)樽钚〉倪^(guò)程中,點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是平行AB的線(xiàn)段,點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路線(xiàn)長(zhǎng)=BF的長(zhǎng)=8-2,
故答案為:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一款名為超級(jí)瑪麗的游戲中,瑪麗到達(dá)一個(gè)高為10米的高臺(tái)A,利用旗桿頂部的繩索,劃過(guò)90°到達(dá)與高臺(tái)A水平距離為17米,高為3米的矮臺(tái)B,
(1)求高臺(tái)A比矮臺(tái)B高多少米?
(2)求旗桿的高度OM;
(3)瑪麗在蕩繩索過(guò)程中離地面的最低點(diǎn)的高度MN.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, 中, 于,且.
()試說(shuō)明是等腰三角形.
()已知,如圖,動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒的速度沿線(xiàn)段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以相同速度沿線(xiàn)段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)都停止.設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(秒).
①若的邊與平行,求的值.
②若點(diǎn)是邊的中點(diǎn),問(wèn)在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中, 能否成為等腰三角形?若能,求出的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,邊長(zhǎng)為1的正方形EFGH在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD所在平面上移動(dòng),始終保持EF//AB,CK=1.線(xiàn)段KG的中點(diǎn)為M,DH的中點(diǎn)為N,則線(xiàn)段MN的長(zhǎng)為 ( ).
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,∠CAB=70°,現(xiàn)將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△AB′C′,連接BB′,若BB′∥AC′,則∠CAB′的度數(shù)為( )
A.20°
B.25°
C.30°
D.40°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知∠ABC=∠DCB,添加一個(gè)條件,使△ABC≌△DCB,你添加的條件是_____.(注:只需寫(xiě)出一個(gè)條件即可)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某天晚上,小春放學(xué)從學(xué)校步行回家,走了一段后,小春的同學(xué)小佳也從學(xué)校騎車(chē)回家,隨后小佳追上了小春,并邀請(qǐng)小春坐他的自行車(chē)一起回家,但遭到了小春的拒絕.隨后小佳便下車(chē),推車(chē)與小春一起回家.很快小春到家了,小佳與小春道別后也騎上車(chē)?yán)^續(xù)回家.若學(xué)校、小春家、小佳家都在同一條筆直的公路上,則從小春出發(fā)時(shí)算起,小春與小佳的距離y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象最可能是下圖中的( ).
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC,AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為AC中點(diǎn)且BE平分∠ABD,連接BE交AD于點(diǎn)F,且BF=AC,過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB,交AC于點(diǎn)G.
求證:
(1)∠BAD=2∠DAC
(2)EF=EG.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】宜賓市某化工廠(chǎng),現(xiàn)有A種原料52千克,B種原料64千克,現(xiàn)用這些原料生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品共20件.已知生產(chǎn)1件甲種產(chǎn)品需要A種原料3千克,B種原料2千克;生產(chǎn)1件乙種產(chǎn)品需要A種原料2千克,B種原料4千克,則生產(chǎn)方案的種數(shù)為( )
A.4
B.5
C.6
D.7
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