【題目】如圖,以點為圓心,為半徑作優(yōu)弧,連接,,且,在弧上任意取點(點在點的順時針方向)且使,以為邊向弧內作正三角形.
(1)發(fā)現(xiàn):不論點在弧上什么位置,點與點的距離不變,點與點的距離是_____;點到直線的最大距離是_______.
(2)思考:當點在直線上時,求點到的距離,在備用圖1中畫出示意圖,并寫出計算過程.
(3)探究:當與垂直或平行時,直接寫出點到的距離.
【答案】(1),;(2);畫出示意圖見解析;(3)
【解析】
(1)根據垂直平分線的判定可證得CO垂直平分AB,再利用勾股定理分別求得OG、CG的長,進而可得OC長,如圖2,當CO⊥EF時,點到直線的距離最大,利用60的正弦值可求得OH的長,進而求得EF的最大值;
(2)先畫出示意圖,然后先證∽,由相似三角形的性質可求得點到的距離;
(3)分別畫出⊥及∥時的示意圖,然后利用特殊角的三角函數值可求得點到的距離.
(1)解:如圖1,連接OA、OB、OC,延長OC交AB于點G,
在正△ABC中,AB=BC=AC=2
∵OA=OB,AC=BC,
∴OC垂直平分AB,
∴AG=AB=1,
∴在Rt△AGC中,CG=,
在Rt△AGO中,OG=,
∴OC=OE-CE=,
如圖2,延長CO交EF于點H,
當CO⊥EF時,點到直線的距離最大,最大距離為CH的長,
∵OE=OF,CO⊥EF,
∴CO平分∠EOF,
∵
∴,
在Rt△EOH中,cos∠EOH=,
∴cos60°=,
∴OH=,
∴CH=CO+OH=
∴點到直線的最大距離是.
(2)如備用圖1,當點在直線時,
由可知,
點都在線段的垂直平分線上,
過點作的垂線垂足為,
則為中點,直線過點.
由
可得∽,
,
,
(3)如圖3,當BC⊥OE時,設垂足為點M,
∵∠EOF=120°,
∴∠COM=180°-120°=60°,
在Rt△COM中,sin∠COM=,
∴sin60°=,
∴
如圖4,當BC∥OE時,過點C作CN⊥OE,垂足為點N,
∵BC∥OE ,
∴∠CON=∠GCB=30°,
在Rt△CON中,sin∠CON=,
∴sin30°=,
∴,
綜上所述,當與垂直或平行時,點到的距離為或.
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【題目】孫老師在上《等可能事件的概率》這節(jié)課時,給同學們提出了一個問題:“如果同時隨機投擲兩枚質地均勻的骰子,它們朝上一面的點數和是多少的可能性最大?”同學們展開討論,各抒己見,其中小芳和小超兩位同學給出了兩種不同的回答.小芳認為6的可能性最大,小超認為7的可能性最大.你認為他們倆的回答正確嗎?請用列表或畫樹狀圖等方法加以說明.(骰子:六個面上分別刻有1,2,3,4,5,6個小圓點的小正方體.)
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【題目】如圖1,將拋物線y=ax2(a<0)平移到頂點M恰好落在直線y=x+3上,且拋物線過直線與y軸的交點A,設此時拋物線頂點的橫坐標為m(m>0).
(1)用含m的代數式表示a;
(2)如圖2,Rt△CBT與拋物線交于C、D、T三點,∠B=90,BC∥x軸,CD=2,BD=t,BT=2t,△TDC的面積為4
①求拋物線方程;
②如圖3,P為拋物線AM段上任一點,Q(0,4),連結QP并延長交線段AM于N,求的最大值.
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【題目】如圖,一次函數的圖象與軸交于點,與反比例函數的圖象在第一象限交于點,過點作軸上點,的面積為.
(1)求反比例函數的解析式;
(2)求證:是等腰三角形.
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【題目】能夠成為直角三角形三邊長的三個正整數稱為勾股數,世界上第一次給出勾股數公式的是我國古代數學著作《九章算術》,共勾股數的公式為:,其中是互質的奇數.
(1)當時,求這個三角形的面積;
(2)當時,計算三角形的周長(用含的代數式表示),并直接寫出符合條件的三角形的周長值.
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【題目】如圖所示,有兩條公路OM、ON相交成30°角,沿公路OM方向離O點160m處有一所學校A,當重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛時,在以P為圓心,100m為半徑的圓形區(qū)域內都會受到卡車噪聲的影響.且卡車P與學校A的距離越近,噪聲影響越大.若已知重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為15km/h.
(1)求對學校A的噪聲影響最大時,卡車P與學校A的距離;
(2)求卡車P沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間.
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【題目】2019年5月9日,美國政府宣布自2019年5月10日起,對中國進口的億美元清單商品加征的關稅稅率由提高到.為了解我校師生對此事的關注度,學生張明采取隨機抽樣的方法進行問卷調查,繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請結合圖中所給的信息解答下列問題: 我校師生對“加征關稅稅率”了解情況條形統(tǒng)計圍我校師生對“加征關稅稅率”了解情況扇形統(tǒng)計圍
本次調查的人數有 人, 在扇形統(tǒng)計圖中,的值是 ;請將條形統(tǒng)計圖補充完整.
在被調查的教師中,有男女共名教師愿意接受深入調查,現(xiàn)要從這名教師中隨機抽取名教
師進行深入調查,請畫樹狀圖或者列表求出所抽取的名教師恰好是名男教師和名女教師的概率.
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【題目】已知:如圖,MN為⊙O的直徑,ME是⊙O的弦,MD垂直于過點E的直線DE,垂足為點D,且ME平分∠DMN.
求證:(1)DE是⊙O的切線;
(2)ME2=MDMN.
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【題目】房山某中學改革學生的學習模式,變“老師要學生學習”為“學生自主學習”,培養(yǎng)了學生自主學習的能力.小華與小明同學就“最喜歡哪種學習方式”隨機調查了他們周圍的一些同學,根據收集到的數據繪制了以下的兩個統(tǒng)計圖.請根據下面兩個不完整的統(tǒng)計圖回答以下問題:
(1)這次抽樣調查中,共調查了 名學生;
(2)補全兩幅統(tǒng)計圖;
(3)根據抽樣調查的結果,估算該校1000名學生中大約有多少人選擇“小組合作學習”?
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