【題目】如圖,在正方形中,點(diǎn)、是正方形內(nèi)兩點(diǎn),,,為探索這個(gè)圖形的特殊性質(zhì),某數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)歷了如下過(guò)程:

1)在圖1中,連接,且

①求證:互相平分;

②求證:

2)在圖2中,當(dāng),其它條件不變時(shí),是否成立?若成立,請(qǐng)證明:若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

3)在圖3中,當(dāng),,時(shí),求之長(zhǎng).

【答案】(1)①詳見(jiàn)解析;②詳見(jiàn)解析;(2)當(dāng)BEDF時(shí),(BE+DF2+EF22AB2仍然成立,理由詳見(jiàn)解析;(3

【解析】

1)①連接EDBF,證明四邊形BEDF是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明;②根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理證明;

2)過(guò)DDMBEBE的延長(zhǎng)線于M,連接BD,證明四邊形EFDM是矩形,得到EM=DF,DM=EF,∠BMD=90°,根據(jù)勾股定理計(jì)算;

3)過(guò)PPEPD,過(guò)BBELPEE,根據(jù)(2)的結(jié)論求出PE,結(jié)合圖形解答.

1)證明:連接EDBF,

BEDF,BEDF,

∴四邊形BEDF是平行四邊形,

BDEF互相平分;

設(shè)BDEF于點(diǎn)O,則OBODBD,OEOFEF

EFBE

∴∠BEF90°.

RtBEO中,BE2+OE2OB2

∴(BE+DF2+EF2=(2BE2+2OE24BE2+OE2)=4OB2=(2OB2BD2

在正方形ABCD中,ABAD,BD2AB2+AD22AB2

∴(BE+DF2+EF22AB2;

2)解:當(dāng)BEDF時(shí),(BE+DF2+EF22AB2仍然成立,

理由如下:如圖2,過(guò)DDMBEBE的延長(zhǎng)線于M,連接BD

BEDF,EFBE,

EFDF,

∴四邊形EFDM是矩形,

EMDF,DMEF,∠BMD90°,

RtBDM中,BM2+DM2BD2,

∴(BE+EM2+DM2BD2

即(BE+DF2+EF22AB2

3)解:過(guò)PPEPD,過(guò)BBEPEE

則由上述結(jié)論知,(BE+PD2+PE22AB2

∵∠DPB135°,

∴∠BPE45°,

∴∠PBE45°,

BEPE

∴△PBE是等腰直角三角形,

BPBE,

BP+2PD4 ,

2BE+2PD4,即BE+PD2,

AB4,

∴(22+PE22×42,

解得,PE2,

BE2,

PD22

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. B. C. D.

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(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;

(2)若PA=3PB,求一次函數(shù)的解析式;

(3)在(2)的條件下,當(dāng)k0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C,使⊙C同時(shí)與x軸和直線AP都相切?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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A.3B.4C.5D.6

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A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

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(1)△ADC 的面積;

2)求反比例函數(shù)y= 與一次函數(shù)的y=k1x+b表達(dá)式.

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1)則a ,b ,c

2)有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒4個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng),多少秒后,PA、B、C的距離和為40個(gè)單位?

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(4)|2|與﹣4之間的距離是_________.

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