【題目】如圖,二次函數(shù)y=﹣x2+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3),與x軸的正半軸交于點(diǎn)G(1+,0);一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且交x軸于點(diǎn)P,交拋物線于另一點(diǎn)B,又知點(diǎn)A,B位于點(diǎn)P的同側(cè).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;

(2)若PA=3PB,求一次函數(shù)的解析式;

(3)在(2)的條件下,當(dāng)k0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C,使⊙C同時(shí)與x軸和直線AP都相切?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2 3)存在這樣的點(diǎn)(1,﹣5﹣10),使得同時(shí)與軸和直線都相切.

【解析】分析:1)根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為x=1可求出m的值,再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出n,此題得解;

2)根據(jù)P、A、B三點(diǎn)共線以及PA=3PB結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)B的縱坐標(biāo),將其代入拋物線解析式中即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo),再根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AP的解析式;

3)假設(shè)存在,設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)依照題意畫(huà)出圖形,根據(jù)角的計(jì)算找出∠DCF=EPF再通過(guò)解直角三角形找出關(guān)于r的一元一次方程,解方程求出r,將其代入點(diǎn)C的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論.

詳解:(1∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1,=1,解得m=

將點(diǎn)A2,3)代入y=﹣x2+x+n,3=﹣1+1+n,解得n=3,∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+3

2P、AB三點(diǎn)共線,PA=3PB,且點(diǎn)AB位于點(diǎn)P的同側(cè),yAyP=3yByP).

又∵點(diǎn)Px軸上的點(diǎn)點(diǎn)A2,3),yB=1

當(dāng)y=1時(shí),有﹣x2+x+3=1,解得x1=﹣2,x2=4,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣2,1)或(4,1).

將點(diǎn)A23)、B(﹣21)代入y=kx+b中得,解得,∴一次函數(shù)的解析式y=x+2;

將點(diǎn)A23)、B4,1)代入y=kx+b,解得,∴一次函數(shù)的解析式y=﹣x+5

綜上所述當(dāng)PAPB=31時(shí)一次函數(shù)的解析式為y=x+2y=﹣x+5

3)假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1r).

k0,∴直線AP的解析式為y=x+2

當(dāng)y=0時(shí),x+2=0,解得x=﹣4,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣4,0),當(dāng)x=1時(shí),y=,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1).

令⊙與直線AP的切點(diǎn)為F,x軸的切點(diǎn)為E,拋物線的對(duì)稱軸與直線AP的交點(diǎn)為D,連接CF,如圖所示.

∵∠PFC=PEC=90°,EPF+∠ECF=DCF+∠ECF=180°,∴∠DCF=EPF

RtCDF,tanDCF=tanEPF=,CD=r,CD=CF=|r|=r解得r=510r=﹣510

故當(dāng)k0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)C,使得⊙C同時(shí)與x軸和直線AP都相切點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,510)或(1,﹣510).

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2)如果長(zhǎng)廊長(zhǎng)2a米(a為正整數(shù)),則需要彩色地磚   塊;

3)購(gòu)買時(shí),恰逢地磚市場(chǎng)地磚促銷,彩色地磚原價(jià)為100/塊,普通地磚原價(jià)為40/塊,優(yōu)惠方案為:買一塊彩色地磚贈(zèng)送一塊普通地磚.

①如果長(zhǎng)廊長(zhǎng)x米(x為整數(shù)),用含x代數(shù)式表示購(gòu)買地磚所需的錢數(shù);

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(3)若點(diǎn)M,m),Nn,1)在直線l上,Py軸上一動(dòng)點(diǎn),則PM+PN最小時(shí),P的坐標(biāo)為____________,此時(shí)PM+PN=______________.

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3

4

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