Question

【題目】定義：有一組對(duì)邊與一條對(duì)角線(xiàn)均相等的四邊形為對(duì)等四邊形，這條對(duì)角線(xiàn)又稱(chēng)對(duì)等線(xiàn)．

（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠C＝∠BDC，E為AB的中點(diǎn)，DE⊥AB．求證：四邊形ABCD是對(duì)等四邊形．

（2）如圖2，在5×4的方格紙中，A，B在格點(diǎn)上，請(qǐng)畫(huà)出一個(gè)符合條件的對(duì)等四邊形ABCD，使BD是對(duì)等線(xiàn)，C，D在格點(diǎn)上．

（3）如圖3，在圖（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)E作AD的平行線(xiàn)交BD，BC于點(diǎn)F，G，連結(jié)DG，若DG⊥EG，DG＝2，AB＝5，求對(duì)等線(xiàn)BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）BD＝．

【解析】

（1）先說(shuō)明∠C=∠BDC，證得BC=BD，然后由等腰三角形的性質(zhì)得到BD=AD，即可證明；

（2）作A B的垂直平分線(xiàn)與方格紙上的格點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)D，再以點(diǎn)B為圓心、以BD長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，圓與方格紙上的格點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，連接AD、BC、CD，則AD=BC=BD即可完成作圖；

（3）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AD于H，先證得四邊形DGEH是矩形，得出EH=DG=2；然后再求出AE的長(zhǎng)；，S△ADE=S△BDE，設(shè)DE=x，A D=BD=y，然后再運(yùn)用勾股定理和三角形的面積公式列出方程組求解即可．

（1）證明：∵∠C＝∠BDC，

∴BC＝BD，

∵E為AB的中點(diǎn)，DE⊥AB，

∴BD＝AD，

∴BC＝AD＝BD，

∴四邊形ABCD是對(duì)等四邊形；

（2）解：有兩種畫(huà)法：

作AB的垂直平分線(xiàn)與方格紙上的格點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)D，再以點(diǎn)B為圓心、以BD長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，圓與方格紙上的格點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，連接AD、BC、CD，則AD＝BC＝BD，如圖2﹣1所示；

（3）解：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AD于H，如圖3所示：

則∠EHD＝90°，

∵EG∥AD，DG⊥EG，

∴∠EGD＝∠HDG＝90°，

∴四邊形DGEH是矩形，

∴EH＝DG＝2，

∵E為AB的中點(diǎn)，AB＝5，

∴AE＝BE＝AB＝，S△ADE＝S△BDE，

設(shè)DE＝x，AD＝BD＝y，

則S△ADE＝EHAD＝×2×y＝y，S△BDE＝BEDE＝××x＝x，

∵在Rt△BDE中，∠BED＝90°，

∴BD2＝BE2+DE2，即y2＝（）2+x2，

∴，

解得：

∴BD＝．