【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的象經(jīng)過A(﹣1,0)、B(3,0)、N(2,3)三點,且與y軸交于點C.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式,并寫出頂點M及點C的坐標(biāo);
(2)若直線y=kx+d經(jīng)過C、M兩點,且與x軸交于點D,試證明四邊形CDAN是平行四邊形;
(3)點P是這個二次函數(shù)的對稱軸上一動點,請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點P,使以點P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點,并且與直線CD相切?如果存在,請求出點P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3,頂點M(1,4),點C(0,3);(2)見解析;
(3)點P存在,其坐標(biāo)為(1,)或(1,) .
【解析】
(1)將點A、B、C的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c中建立方程組,解方程組求得a、b、c的值即可得到所求的解析式,再由所得解析式求出頂點M的坐標(biāo)和點C的坐標(biāo)即可;
(2)根據(jù)(1)中所得點M、C的坐標(biāo)求得直線CM的解析式,即可求得點D的坐標(biāo),然后結(jié)合已知條件證得CD=AN,AD=CN,即可證得四邊形CDAN是平行四邊形;
(3)如下圖,若圓P過A、B兩點,設(shè)點P的坐標(biāo)為(1,y0),過點P作PQ⊥CM于點M,則當(dāng)PQ=PA時,圓P和直線CM相切,由此結(jié)合已知條件列出關(guān)于y0的方程,解方程求出y0的值即可得到所求的點P的坐標(biāo).
(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(﹣1,0)、B(3,0)、N(2,3)
∴可建立方程組: ,解得: ,
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+2x+3,
∵y=-(x-1)2+4,
∴頂點M的坐標(biāo)為:(1,4),
∵在y=-x2+2x+3中,當(dāng)x=0時,y=3,
∴點C的坐標(biāo)為:(0,3)
(2)∵直線y=kx+d經(jīng)過C、M兩點,
∴ ,解得:即k=1,d=3,
∴直線CM的解析式為y=x+3.
∵在y=x+3中,當(dāng)y=0時,x=﹣3,
∴點D的坐標(biāo)為:(﹣3,0),
∵點C、A、N的坐標(biāo)分別為(0,3)、(-1,0)、(2,3),
∴CD= ,AN=,AD=2,CN=2,
∴CD=AN,AD=CN,
∴四邊形CDAN是平行四邊形;
(3)假設(shè)存在這樣的點P,使以點P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點,并且與直線CD相切,
∵二次函數(shù)y=-(x-1)2+4的對稱軸是直線x=1,
∴可設(shè)P的坐標(biāo)為:(1,y0),
∴PA是圓P的半徑且PA2=y02+22 ,
如下圖,過點P做PQ⊥CD于Q,則當(dāng)PQ=PA時,以P為圓心的圓與直線CD相切.
∵D、M、E的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(1,4)、(1,0),
∴DE=ME=4,ME⊥DE,
∴△MDE為等腰直角三角形,
∴△PQM也是等腰直角三角形,
由點P的坐標(biāo)為(1,y0)可得PE=y0 ,
∴PM=|4﹣y0|,
∴,
由PQ2=PA2時,圓P和直線CM相切,可得方程:
,
解得,
∴滿足題意的點P存在,其坐標(biāo)為(1,)或(1,) .
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知甲、乙兩袋中各裝有若干顆球,其種類與數(shù)量如表所示.今阿馮打算從甲袋中抽出一顆球,小潘打算從乙袋中抽出一顆球,若甲袋中每顆球被抽出的機會相等,且乙袋中每顆球被抽出的機會相等,則下列敘述何者正確?( )
甲袋 | 乙袋 | |
紅球 | 2顆 | 4顆 |
黃球 | 2顆 | 2顆 |
綠球 | 1顆 | 4顆 |
總計 | 5顆 | 10顆 |
A. 阿馮抽出紅球的機率比小潘抽出紅球的機率大
B. 阿馮抽出紅球的機率比小潘抽出紅球的機率小
C. 阿馮抽出黃球的機率比小潘抽出黃球的機率大
D. 阿馮抽出黃球的機率比小潘抽出黃球的機率小
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于點F,交BC于點E,且BD=DE.
(1)若∠C=40°,求∠BAD的度數(shù);
(2)若AC=5,DC=4,求△ABC的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】CD是線段AB的垂直平分線,則∠CAD=∠CBD.請說明理由.
解:∵CD是線段AB的垂直平分線(已知),
∴AC=______,______=BD(______)
在△ADC和______中,
______=BC,
AD=______,
CD=______(______),
∴______≌______(______ 。
∴∠CAD=∠CBD (全等三角形的對應(yīng)角相等).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,∠ABD、∠CDB的平分線BE、DF分別交邊AD、BC于點E、F.
(1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形;
(2)當(dāng)∠ABE為多少度時,四邊形BEDF是菱形?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國學(xué)經(jīng)典進(jìn)校園,傳統(tǒng)文化潤心靈,某校開設(shè)了“圍棋入門”、“詩歌漢字”、“翰墨飄香”、“史學(xué)經(jīng)典”四門拓展課(每位學(xué)生必須且只選其中一門).
(1)學(xué)校對八年級部分學(xué)生進(jìn)行選課調(diào)查,
得到如圖所示的統(tǒng)計圖,請估計該校八年級420名學(xué)生選“詩歌漢字”的人數(shù).
(2)“翰墨飄香”書畫社的甲、乙、丙三人的書法水平相當(dāng),學(xué)校決定從這三名同學(xué)中任選兩名參加市書法比賽,求甲和乙被選中的概率.(要求列表或畫樹狀圖)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)因式分解:-28m3n2+42m2n3-14m2n
(2)因式分解:9a2(x-y)+4b2(y-x)
(3)求不等式的負(fù)整數(shù)解
(4)解不等式組,把它們的解集在數(shù)軸上表示出來.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)九年級甲、乙兩班分別選5名同學(xué)參加“奮發(fā)向上,崇德向善”演講比賽,其預(yù)賽成績?nèi)鐖D所示:
(1)根據(jù)上圖填寫下表:
(2)根據(jù)上表數(shù)據(jù),分別從平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的角度分析哪班的成績較好.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在Rt△ABO中,∠AOB=90°,OA=,OB=4,分別以OA、OB邊所在的直線建立平面直角坐標(biāo)系,D為x軸正半軸上一點,以OD為一邊在第一象限內(nèi)作等邊△ODE.
(1)如圖①,當(dāng)E點恰好落在線段AB上時,求E點坐標(biāo);
(2)在(Ⅰ)問的條件下,將△ODE沿x軸的正半軸向右平移得到△O′D′E′,O′E′、D′E′分別交AB于點G、F(如圖②)求證OO′=E′F;
(3)若點D沿x軸正半軸向右移動,設(shè)點D到原點的距離為x,△ODE與△AOB重疊部分的面積為y,請直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.
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