【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB4,BC3,點(diǎn)QBC上,BQ2,點(diǎn)PAB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PQ,將△PBQ沿PQ翻折,點(diǎn)B落在點(diǎn)B′.

1)當(dāng)AP   時(shí),四邊形PBQB′的面積是矩形面積的;

2)當(dāng)AP為何值時(shí),四邊形PBQB′是正方形?為什么?

3)在翻折過(guò)程中是否存在AP的值,使得點(diǎn)B′與矩形對(duì)稱(chēng)中心點(diǎn)O重合,如果存在,請(qǐng)求出AP的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)3;(2)當(dāng)AP2時(shí),四邊形PBQB'是正方形;(3)存在,AP4

【解析】

1)先求得矩形ABCD的面積,可知S四邊形PBQB'6,根據(jù)折疊性質(zhì)可知△PBQ的面積為3,利用三角形面積公式即可解決問(wèn)題;

2)利用正方形的性質(zhì)即可解答;

3)利用勾股定理求得BD,再利用矩形性質(zhì)即可知BO,在利用勾股定理求得BE;最后利用相似即可解決問(wèn)題.

解:(1)在矩形ABCD中,AB4,BC3

S矩形ABCDABBC4×312

∵四邊形PBQB′的面積是矩形面積的,

S四邊形PBQB'S矩形ABCD×126

由折疊知,△PBQ≌△PB'Q,

SPBQSPB'QS四邊形PBQB'3,

BQ3,

SPBQBQBP×2BP3,

BP3,

APABBP3

故答案為:3;

2)∵四邊形PBQB′是正方形,

BPBQ2,

APABBP422

即:當(dāng)AP2時(shí),四邊形PBQB'是正方形;

3)存在,理由:如圖,

連接BD,交PQE,則BD必過(guò)點(diǎn)O

∵四邊形ABCD是矩形,

ABC=∠BAD90°,ADBC3,

根據(jù)勾股定理得,BD

O是矩形ABCD的中心,

BOBD×5,

當(dāng)點(diǎn)B′與矩形對(duì)稱(chēng)中心點(diǎn)O重合時(shí),BEBO,

由折疊知,BOPQ,

∴∠BEQ90°,

RtBEQ中,BQ2

根據(jù)勾股定理得,EQ

∵∠BEQ=∠PBQ90°,∠BQE=∠PQB,

∴△BEQ∽△PBQ

,

,

PB ,

APABPB4,

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1)直接寫(xiě)出 , ;

2)若,那么 ,

3)將表格中的5個(gè)陰影格子看成一個(gè)整體并平移,所覆蓋的5個(gè)數(shù)之和能否等于2027? (填“能”或“不能”),若能,求出這5個(gè)數(shù)中的最小數(shù),若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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