【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,過(guò)CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)E作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于F.切點(diǎn)為G,連接AG交CD于K.
(1)求證:KE=GE;
(2)若KG2=KDGE,試判斷AC與EF的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)在(2)的條件下,若sinE= ,AK=2 ,求FG的長(zhǎng).
【答案】
(1)解:如答圖1,連接OG.
∵EG為切線,∴∠KGE+∠OGA=90°,
∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90°,
又OA=OG,∴∠OGA=∠OAG,
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,
∴KE=GE
(2)解:AC∥EF,理由為:
連接GD,如答圖2所示.
∵KG2=KDGE,即 = ,
∴ = ,又∠KGE=∠GKE,
∴△GKD∽△EGK,
∴∠E=∠AGD,又∠C=∠AGD,
∴∠E=∠C,
∴AC∥EF
(3)解:連接OG,OC,如答圖3所示.
sinE=sin∠ACH= ,設(shè)AH=3t,則AC=5t,CH=4t,
∵KE=GE,AC∥EF,∴CK=AC=5t,∴HK=CK﹣CH=t.
在Rt△AHK中,根據(jù)勾股定理得AH2+HK2=AK2,
即(3t)2+t2=(2 )2,解得t= ,
設(shè)⊙O半徑為r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r﹣3t,CH=4t,
由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,
即(r﹣3t)2+(4t)2=r2,解得r= t= .
∵EF為切線,∴△OGF為直角三角形,
在Rt△OGF中,OG=r= ,tan∠OFG=tan∠CAH= = ,
∴FG= = =
【解析】(1)如答圖1,連接OG.根據(jù)切線性質(zhì)及CD⊥AB,可以推出連接∠KGE=∠AKH=∠GKE,根據(jù)等角對(duì)等邊得到KE=GE;(2)AC與EF平行,理由為:如答圖2所示,連接GD,由∠KGE=∠GKE,及KG2=KDGE,利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似可得出△GKD與△EKG相似,又利用同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠C=∠AGD,可推知∠E=∠C,從而得到AC∥EF;(3)如答圖3所示,連接OG,OC.首先求出圓的半徑,根據(jù)勾股定理與垂徑定理可以求解;然后在Rt△OGF中,解直角三角形即可求得FG的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,原有一大長(zhǎng)方形,被分割成3個(gè)正方形和2個(gè)長(zhǎng)方形后仍是中心對(duì)稱(chēng)圖形.若原來(lái)該大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是120,則分割后不用測(cè)量就能知道周長(zhǎng)的圖形標(biāo)號(hào)為( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
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【題目】一組數(shù)據(jù)2、3、6、8、x的眾數(shù)是x,其中x又是不等式組 的整數(shù)解,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能是( )
A.3
B.4
C.6
D.3或6
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【題目】在中, ,將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置,點(diǎn)E在斜邊AB上,連結(jié)BD,過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F.
(1)如圖1,若點(diǎn)F與點(diǎn)A重合.①求證: ;②若,求出;
(2)若,如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí),判斷線段AF與線段AB的數(shù)量關(guān)系.并說(shuō)明理由.
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【題目】吸煙有害健康,為配合“戒煙”運(yùn)動(dòng),某校組織同學(xué)們?cè)谏鐓^(qū)開(kāi)展了“你支持哪種戒煙方式”的隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖:據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問(wèn)題:
(1)同學(xué)們一共調(diào)查了多少人?
(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
(3)若該社區(qū)有1萬(wàn)人,請(qǐng)你估計(jì)大約有多少人支持“警示戒煙”這種方式?
(4)為了讓更多的市民增強(qiáng)“戒煙”意識(shí),同學(xué)們?cè)谏鐓^(qū)做了兩期“警示戒煙”的宣傳.若每期宣傳后,市民支持“警示戒煙”的平均增長(zhǎng)率為20%,則兩期宣傳后支持“警示戒煙”的市民約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AD是△ABC的高,AE是△ABC的角平分線,AF是△ABC的中線,圖中相等的角有________________________________,相等的線段有__________.
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【題目】如圖,∠BAC與∠CBE的平分線相交于點(diǎn)P,BE=BC,PB與CE交于點(diǎn)H,PG∥AD交BC于F,交AB于G,下列結(jié)論:① GA=GP;② S△PAC∶S△PAB=AC∶AB;③ BP垂直平分CE;④ FP=FC,其中正確的判斷有( )
A. 只有①② B. 只有③④ C. 只有①③④ D. ①②③④
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【題目】為了解某品牌電風(fēng)扇銷(xiāo)售量的情況,對(duì)某商場(chǎng)5月份該品牌甲、乙、丙三種型號(hào)的電風(fēng)扇銷(xiāo)售量進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制如下兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖(均不完整).請(qǐng)你結(jié)合圖中的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)該商場(chǎng)5月份售出這種品牌的電風(fēng)扇共多少臺(tái)?
(2)若該商場(chǎng)計(jì)劃訂購(gòu)這三種型號(hào)的電風(fēng)扇共2000臺(tái),根據(jù)5月份銷(xiāo)售量的情況,求該商場(chǎng)應(yīng)訂購(gòu)丙種型號(hào)電風(fēng)扇多少臺(tái)比較合理?
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①2a+b=0;②a+c>b;③拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(3,0);④abc>0.其中正確的結(jié)論是(填寫(xiě)序號(hào))
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