【題目】三角形內(nèi)角和定理告訴我們:三角形三個內(nèi)角的和等于180°.如何證明這個定理呢?

我們知道,平角是180°,要證明這個定理就是把三角形的三個內(nèi)角轉移到一個平角中去,請根據(jù)如下條件,證明定理.

(定理證明)

已知:ABC(如圖①).

求證:∠A+B+C=180°

(定理推論)如圖②,在ABC中,有∠A+B+ACB=180°,點DBC延長線上一點,由平角的定義可得∠ACD+ACB=180°,所以∠ACD= .從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論:三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

(初步運用)如圖③,點DE分別是ABC的邊AB、AC延長線上一點.

1)若∠A=80°,∠DBC=150°,則∠ACB= ;

2)若∠A=80°,則∠DBC+ECB=

(拓展延伸)如圖④,點DE分別是四邊形ABPC的邊AB、AC延長線上一點.

1)若∠A=80°,∠P=150°,則∠DBP+ECP=

2)分別作∠DBP和∠ECP的平分線,交于點O,如圖⑤,若∠O=50°,則∠A和∠P的數(shù)量關系為 ;

3)分別作∠DBP和∠ECP的平分線BM、CN,如圖⑥,若∠A=P,求證:BMCN

【答案】[定理證明]證明見解析;[定理推論] A+ABC; [初步運用]170°;(2260°;[拓展延伸]1230°;(2)(2)∠P=A+100°.3)證明見解析.

【解析】

[定理證明]

過點A作直線MNBC,根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角的定義可得結論;

[定理推論]

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和平角的定義可得結論;

[初步運用]

1)根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式可得結論;

2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和得:∠ABC+ACB=100°,由兩個平角的和可得結論;

[拓展延伸]

1)連接AP,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理的推論可得等式,將兩個等式相加可得結論;

2)如圖⑤,設∠DBO=x,∠OCE=y,則∠DBO=OBP=x,∠PCO=OCE=y,由(1)同理得:x+y=A+O2x+2y=A+P,綜合可得結論;

3)如圖⑥,作輔助線,構建三角形PQC,根據(jù)(1)的結論得:∠DBP+ECP=A+BPC,和角平分線的定義,證明∠MBP=PQC,可得結論.

[定理證明]

證明:過點A作直線MNBC,如圖所示,

∴∠MAB=B,∠NAC=C,

∵∠MAB+BAC+NAC=180°,

∴∠BAC+B+C=180°

[定理推論]

∵∠ACD+ACB=180°,∠A+B+ACB=180°

∴∠ACD=A+ABC,

故答案為:∠A+ABC;

[初步運用]

1)∵∠DBC=A+ACB

∴∠ACB=DBC-A=150°-80°=70°,

故答案為:70°;

2)∵∠A=80°,

∴∠ABC+ACB=100°,

∴∠DBC+ECB=360°-100°=260°,

故答案為:260°;

[拓展延伸]

1)如圖④,連接AP,

∵∠DBP=BAP+APB,∠ECP=CAP+APC,

∴∠DBP+ECP=BAP+APB+CAP+APC=BAC+BPC,

∵∠BAC=80°,∠P=150°,

∴∠DBP+ECP=BAC+BPC=80°+130°=230°

故答案為:230°;

2)∠P=A+100°.

理由是:如圖⑤,設∠DBO=x,∠OCE=y,則∠DBO=OBP=x,∠PCO=OCE=y

由(1)同理得:x+y=A+O,2x+2y=A+P,

2A+2O=A+P,

∵∠O=50°,

∴∠P=A+100°

故答案為:∠P=A+100°;

3)證明:延長BPCN于點Q,

BM平分∠DBPCN平分∠ECP,

∴∠DBP=2MBP,∠ECP=2NCP,

∵∠DBP+ECP=A+BPC,

A=BPC,

2MBP+2NCP=A+BPC=2BPC,

∴∠BPC=MBP+NCP

∵∠BPC=PQC+NCP,

∴∠MBP=PQC

BMCN.

練習冊系列答案
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