Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在線段BC上任取一點(diǎn)E，連接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點(diǎn)F．
（1）若點(diǎn)F與B重合，求CE的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)F在線段AB上，且AF=CE，求CE的長(zhǎng)；
（3）設(shè)CE=x，BF=y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出結(jié)果可）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵F與B重合，且EF⊥DE，

∴DE⊥BC，

∵AD∥BC，∠B=90°，

∴∠A=∠B=90°，

∴四邊形ABED為矩形，

∴BE=AD=9，

∴CE=12﹣9=3

（2）解：作DH⊥BC于H，

則DH=AB=7，CH=3．

設(shè)AF=CE=x，

∵F在線段AB上，

∴點(diǎn)E在線段BH上，CH=3，CE=x，

∴HE=x﹣3，BF=7﹣x，

∵∠BEF+90°+∠HED=180°，∠HDE+90°+∠HED=180°，

∴∠BEF=∠HDE，

又∵∠B=∠DHE=90°，

∴△BEF∽△HDE，

∴ ，

∴ ，

整理得x2﹣22x+85=0，

（x﹣5）（x﹣17）=0，

∴x=5或17，

經(jīng)檢驗(yàn)，它們都是原方程的解，但x=17不合題意，舍去．

∴x=CE=5．

（3）解：作DH⊥BC于H，

∵AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，CE=x，BF=y，

∴則HE=x﹣3，BF=y，

當(dāng)3≤x≤12時(shí)，

易證△BEF∽△HDE，

∴ = ，

∴y=﹣ x2+ x﹣ ，

當(dāng)0≤x＜3，

易證△BEF∽△HDE，

則HE=3﹣x，BF=y，

∴ = ，

∴y= x2﹣ x+ ，

∴y= ．

【解析】（1）先證明四邊形ABED為矩形，CE=BC﹣AD，繼而即可求出答案；（2）設(shè)AF=CE=x，則HE=x﹣3，BF=7﹣x，再通過(guò)證明△BEF∽△HDE，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，然后代入求解即可；（3）綜合（1）（2）兩種情況，然后代入求出解析式即可．
【考點(diǎn)精析】利用直角梯形和相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一腰垂直于底的梯形是直角梯形；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．