【題目】問題情景:

如圖1,AB//CD,PAB=130°,PCD=120°,求∠APC的度數(shù).

小明的思路是:

過點PPE//AB,

∴∠PAB+APE=180°.

∵∠PAB=130°,∴∠APE=50°

AB//CD,PE//AB,PE//CD,

∴∠PCD+CPE=180°.

∵∠PCD=120°,∴∠CPE=60°

∴∠APC=APE+CPE=110°.

問題遷移:

如果ABCD平行關(guān)系不變,動點P在直線AB、CD所夾區(qū)域內(nèi)部運動時,∠PAB,PCD的度數(shù)會跟著發(fā)生變化.

(1)如圖3,當(dāng)動點P運動到直線AC右側(cè)時,請寫出∠PAB,PCD和∠APC之間的數(shù)量關(guān)系?并說明理由.

(2)如圖4,AQ,CQ分別平分∠PAB,PCD,那么∠AQC和角∠APC有怎擇的數(shù)量關(guān)系?

(3)如圖5,點P在直線AC的左側(cè)時,AQ,CQ仍然平分∠PAB,PCD,請直接寫出AQC和角∠APC的數(shù)量關(guān)系

【答案】(1) ∠PAB+PCD=APC.(2)AQC=APC;(3) 2∠AQC+∠APC=360°.

【解析】分析:1過點PPFAB,由平行線的傳遞性得到PFCD再由兩直線平行,內(nèi)錯角相等即可得出結(jié)論

2由(1)的結(jié)論得到∠PAB+PCD=APC, QAB+QCD=AQC,再由角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論;

3由(1):∠BAQ+∠CDQ=∠AQC再由角平分線的性質(zhì)得到∠PAQ+∠PCQ=∠AQC,根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°即可得到結(jié)論

詳解1)∠PAB+PCD=APC

理由:如圖3,過點PPFAB,∴∠PAB=APF

ABCD,PFAB,∴PFCD

∴∠PCD=CPF,∴∠PAB+PCD=APF+CPF=APC,

即∠PAB+PCD=APC

2

理由:如圖4

AQ,CQ分別平分∠PAB,∠PCD,

∴∠QAB=PAB,∠QCD=PCD,

∴∠QAB+QCD=PAB+PCD=(∠PAB+PCD),

由(1),可得∠PAB+PCD=APC,

QAB+QCD=AQC

∴∠AQC=APC

32AQC+APC=360°.理由如下

由(1):∠BA Q+∠CDQ=∠AQC

AQ平分∠PAB,CQ平分∠PCD,∴∠PAQ=∠BAQ,∠PCQ=∠DCQ,∴∠PAQ+∠PCQ=∠AQC

∵∠PAQ+∠PCQ+∠AQC+∠APC=360°,∴∠APC+2∠AQC=360°.

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(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點,過點E作直線AC的平行線交x軸于點F.是否存在這樣的點E,使得以A,C,E,F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點E的坐標(biāo)及相應(yīng)的平行四邊形的面積;若不存在,請說明理由;
(3)若P是拋物線對稱軸上使△ACP的周長取得最小值的點,過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1(x1 , y1),M2(x2 , y2)兩點,試探究 是否為定值,并寫出探究過程.

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