【題目】如圖①,矩形ABCD中,AB=4,BC=m(m>1),點E是AD邊上一定點,且AE=1.
(1)當m=3時,AB上存在點F,使△AEF與△BCF相似,求AF的長度.
(2)如圖②,當m=3.5時.用直尺和圓規(guī)在AB上作出所有使△AEF與△BCF相似的點F.(不寫作法,保留作圖痕跡)
(3)對于每一個確定的m的值,AB上存在幾個點F,使得△AEF與△BCF相似?
【答案】(1)AF=1或3;(2)見解析;(3)當1<m<4且m≠3時,有3個;
當m=3時,有2個;當m=4時,有2個; 當m>4時,有1個.
【解析】試題分析:
(1)由題意可知,∠A=∠B=90°,由此可知要使△AEF與△BCF相似,存在兩種情況:①當∠AEF=∠BFC時,若,則兩三角形相似;②當∠AEF=∠BCF時, 若,則兩三角形相似;由這兩種情況分別根據(jù)已知條件進行計算即可得到相應的AF的值;
(2)如下圖所示:①延長DA到E′,使AE′=AE,連接CE′交AB于點F1;②連接CE,以CE為直徑作圓,分別交AB于點F2、F3;則F1、F2、F3為所求點;
(3)結(jié)合(1)(2)可知,當m=3時,符合條件的點F有2個,當m=4時,符合條件的點F也有2個,而當1<m<4,且 m≠3時,符合條件的點F有3個;而當m>4時,以CE為直徑的圓和AB相離,此時符合條件的點F只有1個.
試題解析:
(1)①當∠AEF=∠BFC時,
要使△AEF∽△BFC,需,即,
解得AF=1或3;
②當∠AEF=∠BCF時,
要使△AEF∽△BCF,需=,即,
解得AF=1;
綜上所述AF=1或3
(2)如下圖所示,圖中F1、F2、F3為所求點;
(提示:延長DA,作點E關于AB的對稱點E′,連結(jié)CE′,交AB于點F1;連結(jié)CE,以CE為直徑作圓交AB于點F2、F3);
(3)如(2)中所作圖形,
當m=4時,由已知條件可得DE=3,則CE=5,即圖中圓的直徑為5,由梯形中位線定理可得此時圖中所作圓的圓心到AB的距離=2.5=所作圓的半徑,F(xiàn)2和F3重合,即當m=4時,符合條件的F有2個;
當m>4時,圖中所作圓和AB相離,此時F2和F3不存在了,即此時符合條件的F只有F11個;
而當1<m<4且m≠3時,由所作圖形可知,符合條件的F有3個;
綜上所述:可得:①當1<m<4且m≠3時,符合條件的F有3個; ②當m=3時,符合條件的F有2個;③當m=4時,符合條件的F有2個;④當m>4時,符合條件的F有1個.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在ABCD中,E,F(xiàn)分別是邊AD,BC上的點,且AE=CF,直線EF分別交BA的延長線、DC的延長線于點G,H,交BD于點O.
(1)求證:△ABE≌△CDF;
(2)連接DG,若DG=BG,則四邊形BEDF是什么特殊四邊形?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,BD平分∠ABC,EF垂直平分BD交CA延長線于點E.
(1)求證:ED2=EAEC;
(2)若ED=6,BD=CD=3,求BC的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】城南中學九年級共有12個班,每班48名學生,學校對該年級學生數(shù)學學科學業(yè)水平測試成績進行了抽樣分析,請按要求回答下列問題:
【收集數(shù)據(jù)】
(1)要從九年級學生中抽取一個48人的樣本,你認為以下抽樣方法中最合理的是
________.①隨機抽取一個班級的48名學生;②在九年級學生中隨機抽取48名女學生;
③在九年級12個班中每班各隨機抽取4名學生.
【整理數(shù)據(jù)】
(2)將抽取的48名學生的成績進行分組,繪制成績頻數(shù)分布表和成績分布扇形統(tǒng)計圖如下.
請根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)填空:
①表中m的值為________;
② B類部分的圓心角度數(shù)為________°;
③估計C、D類學生大約一共有_________名.
九年級學生數(shù)學成績頻數(shù)分布表
成績(單位:分) | 頻數(shù) | 頻率 |
A類(80~100) | 24 | |
B類(60~79) | 12 | |
C類(40~59) | 8 | m |
D類(0~39) | 4 |
【分析數(shù)據(jù)】
(3)教育主管部們?yōu)榱私鈱W校學生成績情況,將同層次的城南、城北兩所中學的抽樣數(shù)據(jù)進行對比分析,得到下表:
學校 | 平均數(shù)(分) | 方差 | A、B類的頻率和 |
城南中學 | 71 | 358 | 0.75 |
城北中學 | 71 | 588 | 0.82 |
請你評價這兩所學校學生數(shù)學學業(yè)水平測試的成績,提出一個解釋來支持你的觀點.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB的垂直平分線分別交AB和AC于點D,E.
(1)求證:AE=2CE;
(2)連接CD,請判斷△BCD的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中點,DE⊥BC,CE//AD,若AC=2,CE=4,則四邊形ACEB的周長為 ▲ .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】a,b分別是數(shù)軸上兩個不同點A,B所表示的有理數(shù),且|a|=5,|b|=2,A,B兩點在數(shù)軸上的位置如圖所示:
(1)試確定數(shù)a,b;
(2)A,B兩點相距多少個單位長度?
(3)若C點在數(shù)軸上,C點到B點的距離是C點到A點距離的,求C點表示的數(shù);
(4)點P從A點出發(fā),先向左移動1個單位長度,再向右移動2個單位長度,再向左移動3個單位長度,再向右移動4個單位長度,依次操作2 019次后,求P點表示的數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)(a<0)圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣3,1,與y軸交于點C,下面四個結(jié)論:
①16a﹣4b+c<0;②若P(﹣5,y1),Q(,y2)是函數(shù)圖象上的兩點,則y1>y2;③a=﹣c;④若△ABC是等腰三角形,則b=﹣.其中正確的有______(請將結(jié)論正確的序號全部填上)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】實踐與探究
如圖,在平面直角坐標系中,直線交軸于點,交軸于點,點坐標為。直線與直線相交于點,點的橫坐標為1。
(1)求直線的解析式;
(2)若點是軸上一點,且的面積是面積的,求點的坐標;
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