【題目】如圖,已知△ABC是邊長(zhǎng)為12的正三角形,AD是邊BC上的高線,CF是外角ACE的平分線,點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B,C不重合),∠APQ =60°,射線PQ分別與邊AC,射線CF交于點(diǎn)N,Q

(1)求證:△ABP∽△PCN

(2)不管點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處,在不添輔助線的情況下,除第(1)小題中的一對(duì)相似三角形外,請(qǐng)寫(xiě)出圖中其它的所有相似三角形;

(3)當(dāng)點(diǎn)PBD的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到DC的中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)N都隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng).在此過(guò)程中,試探究:能否求出點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)?若能,請(qǐng)求出這個(gè)長(zhǎng)度;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)△ABD≌△ACD;△APN∽△ACP;△APN∽△QCN;△ACP∽△QCN ;(3)1.5.

【解析】

1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得到∠ABP=∠PCN60°,證明∠BAP=∠CPN,根據(jù)相似三角形的判定定理證明結(jié)論;(2)因?yàn)?/span>ABC是正三角形,AD是邊BC上的高線,由三線合一可證ABD≌△ACD;因?yàn)椤?/span>APN=ACP=60°,∠PAN=CAP,所以APN∽△ACP;因?yàn)椤?/span>APN=NCQ=60°,∠PNA=CNQ,所以APN∽△QCN;因?yàn)?/span>APN∽△ACPAPN∽△QCN,所以ACP∽△QCN ;(3)當(dāng)點(diǎn)PBD的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到DC的中點(diǎn)時(shí),利用相似三角形性質(zhì),設(shè)PBx,CNy,則3≤x≤9,由第(1)題利用相似三角形性質(zhì)可得:,解得,又利用函數(shù)圖象可知:當(dāng)x39時(shí),y,當(dāng)x6時(shí),y最大3,所以點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為:(3×21.5

解:(1)在正三角形ABC中,∠ABP=∠PCN60°,

∴∠BAP +BPA120°,又∵∠APQ 60°

∴∠CPN +BPA120°, ∴∠BAP=∠CPN,

∴△ABP∽△PCN;

2ABD≌△ACD;APN∽△ACPAPN∽△QCN;ACP∽△QCN

理由:∵ABC是正三角形,ADBC,由三線合一可證ABD≌△ACD;∵∠APN=ACP=60°,∠PAN=CAP,∴APN∽△ACP;∵∠APN=NCQ=60°,∠PNA=CNQ,APN∽△QCN;∵APN∽△ACPAPN∽△QCN,∴ACP∽△QCN

3)能,設(shè)PBx,CNy,由第(1)題可得:,

,又3≤x≤9,利用函數(shù)圖象可知:

當(dāng)x39時(shí),y,當(dāng)x6時(shí),y最大3;

∴點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為:(3×21.5

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍;

(2)每件商品的售價(jià)為多少元時(shí),每周可獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?

(3)每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí),每周的利潤(rùn)恰好是2145元?

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