Question

【題目】如圖，已知是等邊三角形的外接圓，點在圓上，在的延長線上有一點,使,交于.

（1）求證：是的切線；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，證明∠OAE=90°，可得AE是⊙O的切線；

（2）先根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得：AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由四點共圓的性質(zhì)得：∠ADF=∠ABC=60°，得△ADF是等邊三角形，證明△BAD≌△CAF，可得結(jié)論．

（1）連接OD，

∵⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，

∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，

∵AE∥BC，

∴∠EAC=∠BCA=60°，

∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，

∴AE是⊙O的切線；

（2）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，

∵A、B、C、D四點共圓，

∴∠ADF=∠ABC=60°，

∵AD=DF，

∴△ADF是等邊三角形，

∴AD=AF，∠DAF=60°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，

即∠BAF=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF，

∴BD=CF．