【題目】綜合與實(shí)踐

正方形內(nèi)奇妙點(diǎn)及性質(zhì)探究

定義:如圖1,在正方形中,以為直徑作半圓,以為圓心,為半徑作,與半圓交于點(diǎn).我們稱點(diǎn)為正方形的一個(gè)奇妙點(diǎn).過奇妙點(diǎn)的多條線段與正方形無論是位置關(guān)系還是數(shù)量關(guān)系,都具有不少優(yōu)美的性質(zhì)值得探究.

性質(zhì)探究:如圖2,連接并延長交于點(diǎn),則為半圓的切線.

證明:連接

由作圖可知,,

,∴是半圓的切線.

問題解決:

1)如圖3,在圖2的基礎(chǔ)上,連接.請判斷的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

2)在(1)的條件下,請直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系;

3)如圖4,已知點(diǎn)為正方形的一個(gè)奇妙點(diǎn),點(diǎn)的中點(diǎn),連接并延長交于點(diǎn),連接并延長交于點(diǎn),請寫出的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

4)如圖5,已知點(diǎn)為正方形的四個(gè)奇妙點(diǎn).連接,恰好得到一個(gè)特殊的趙爽弦圖.請根據(jù)圖形,探究并直接寫出一個(gè)不全等的幾何圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】1,理由見解析;(2;(3,理由見解析;(4)答案不唯一,如:的面積等于正方形的面積;正方形的面積等于正方形面積的等.

【解析】

1)先提出猜想,在圖2以及上面結(jié)論的基礎(chǔ)上,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得出,再由邊邊邊定理可證得,然后利用全等三角形的性質(zhì)、等式性質(zhì)可得證結(jié)論;

2)由(1)可知、,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、線段的和差即可得到結(jié)論;

3)先提出猜想,添加輔助線構(gòu)造出直角三角形,由(1)可知,則其正切值相等,再根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得證結(jié)論;

4)根據(jù)前面的結(jié)論結(jié)合趙爽弦圖可證得

,即可提出猜想.

解:(1)結(jié)論:

理由如下:

,

,

2)∵由(1)可知,

,

∴線段、之間的數(shù)量關(guān)系是;

3)結(jié)論:

理由:連接、,如圖:

由(1)可知,

∵點(diǎn)的中點(diǎn)

∵四邊形是正方形

;

4)延長于點(diǎn),連接、,如圖:

∵由前面的結(jié)論可知

∵此圖為趙爽弦圖即

同理可得、

∵四邊形是正方形

∴在中,

∴答案不唯一,例如,的面積等于正方形的面積;正方形的面積等于正方形面積的等等.

練習(xí)冊系列答案
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根據(jù)以上作圖過程及所作圖形,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

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