Question

【題目】如圖，拋物線與直線都經(jīng)過(guò)坐標(biāo)軸的正半軸上A（4，0），B兩點(diǎn)，該拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1，與x軸交于點(diǎn)C，且∠ABC=90°，求：

（1）直線AB的解析式；

（2）拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+2；（2）y=﹣x2﹣x+2；

【解析】

（1）先證明Rt△CBO∽Rt△BAO，利用相似比計(jì)算出OB=2，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），然后利用待定系數(shù)法確定直線AB的解析式；

（2）先利用對(duì)稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，0），則可設(shè)交點(diǎn)式y=a（x+6）（x-4），然后把B點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可．

（1）∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），

∴OA=4，OC=1，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBO=∠BAO，

∴Rt△CBO∽Rt△BAO，

∴OB：OA=OC：OB，即OB：4=1：OB，

∴OB=2，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），

設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，

把A（4，0）、B（0，2）代入得，解得，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+2；

（2）∵該拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1，

而A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），

∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣6，0），

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+6）（x﹣4），

把B（0，2）代入得a6（﹣4）=2，解得a=﹣，

所以拋物線的解析式為y=﹣（x+6）（x﹣4）=﹣x2﹣x+2．