Question

【題目】如圖，點(diǎn)P（t，0）（t＞0）是x軸正半軸上的一點(diǎn)，是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的 圓，且A（﹣1，0），B（0，1），點(diǎn)M是 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PM，作直角△MPM1 ， 并使得∠MPM1=90°，∠PMM1=60°，我們稱點(diǎn)M1為點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)．

（1）設(shè)點(diǎn)A和點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為A1和B1 ， 當(dāng)t=1時(shí)，求A1的坐標(biāo)；B1的坐標(biāo) ．
（2）當(dāng)P是x軸正半軸上的任意一點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，求M1的運(yùn)動(dòng)路徑長 ．

Answer 1

【答案】
（1）（1，2 ）；（1+ ， ）
（2）
【解析】解：（1）如圖1，

當(dāng)t=1時(shí)，則AP=2，A1P⊥AP，
∵∠PAA1=60°，
∴PA1=2 ，
∴A1（1，2 ），
BP=OP= ，∠BPO=45°，
∴∠B1PC=∠PBO=90°﹣∠BPO=45°，PC=B1C，
∵∠B1BP=60°，
∴PB1= ，
∴PC=B1C= ，
∴B1（1+ ， ），
所以答案是；（1，2 ），（1+ ， ）；（2）當(dāng)M在A點(diǎn)時(shí)，PM=1+t，PM1=（1+t） ，點(diǎn)M從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，設(shè)∠APB=n°，則PM1也旋轉(zhuǎn)n°，
∴M1的運(yùn)動(dòng)路徑長= ，
∵ 的長= = = ，
∴M1的運(yùn)動(dòng)路徑長= ．
所以答案是： ．