【題目】操作與證明:如圖1,把一個含45°角的直角三角板ECF和一個正方形ABCD擺放在一起,使三角板的直角頂點和正方形的頂點C重合,點E、F分別在正方形的邊CB、CD上,連接AF.取AF中點M,EF的中點N,連接MD、MN.
(1)連接AE,求證:△AEF是等腰三角形;
猜想與發(fā)現(xiàn):
(2)在(1)的條件下,請判斷MD、MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,得出結(jié)論.
結(jié)論1:DM、MN的數(shù)量關(guān)系是 ;
結(jié)論2:DM、MN的位置關(guān)系是 ;
拓展與探究:
(3)如圖2,將圖1中的直角三角板ECF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)180°,其他條件不變,則(2)中的兩個結(jié)論還成立嗎?若成立,請加以證明;若不成立,請說明理由.
【答案】(1)證明參見解析;(2)相等,垂直;(3)成立,理由參見解析.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的知識證明出CE=CF,繼而證明出△ABE≌△ADF,得到AE=AF,從而證明出△AEF是等腰三角形;(2)DM、MN的數(shù)量關(guān)系是相等,利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和三角形中位線定理即可得出結(jié)論.位置關(guān)系是垂直,利用三角形外角性質(zhì)和等腰三角形兩個底角相等性質(zhì),及全等三角形對應(yīng)角相等即可得出結(jié)論;(3)成立,連接AE,交MD于點G,標(biāo)記出各個角,首先證明出MN∥AE,MN=AE,利用三角形全等證出AE=AF,而DM=AF,從而得到DM,MN數(shù)量相等的結(jié)論,再利用三角形外角性質(zhì)和三角形全等,等腰三角形性質(zhì)以及角角之間的數(shù)量關(guān)系得到∠DMN=∠DGE=90°.從而得到DM、MN的位置關(guān)系是垂直.
試題解析:(1)∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC=CD,∠B=∠ADF=90°,∵△CEF是等腰直角三角形,∠C=90°,∴CE=CF,∴BC﹣CE=CD﹣CF,即BE=DF,∴△ABE≌△ADF,∴AE=AF,∴△AEF是等腰三角形;(2)DM、MN的數(shù)量關(guān)系是相等,DM、MN的位置關(guān)系是垂直;∵在Rt△ADF中DM是斜邊AF的中線,∴AF=2DM,∵MN是△AEF的中位線,∴AE=2MN,∵AE=AF,∴DM=MN;∵∠DMF=∠DAF+∠ADM,AM=MD,∵∠FMN=∠FAE,∠DAF=∠BAE,∴∠ADM=∠DAF=∠BAE,∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°,∴DM⊥MN;(3)(2)中的兩個結(jié)論還成立,連接AE,交MD于點G,∵點M為AF的中點,點N為EF的中點,∴MN∥AE,MN=AE,由已知得,AB=AD=BC=CD,∠B=∠ADF,CE=CF,又∵BC+CE=CD+CF,即BE=DF,∴△ABE≌△ADF,∴AE=AF,在Rt△ADF中,∵點M為AF的中點,∴DM=AF,∴DM=MN,∵△ABE≌△ADF,∴∠1=∠2,∵AB∥DF,∴∠1=∠3,同理可證:∠2=∠4,∴∠3=∠4,∵DM=AM,∴∠MAD=∠5,∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°,∵MN∥AE,∴∠DMN=∠DGE=90°,∴DM⊥MN.所以(2)中的兩個結(jié)論還成立.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】統(tǒng)計2010年上海世博會前20天日參觀人數(shù),得到如下頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖(部分未完成): 上海世博會前20天日參觀人數(shù)的頻數(shù)分布表:
組別(萬人) | 組中值(萬人) | 頻數(shù) |
7.5~14.5 | 11 | 5 |
14.5~21.5 | 6 | |
21.5~28.5 | 25 | |
28.5~35.5 | 32 | 3 |
上海世博會前20天日參觀人數(shù)的頻數(shù)分布直方圖:
(1)請補(bǔ)全頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖;
(2)求出日參觀人數(shù)不低于22萬的天數(shù)和所占的百分比;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸相交于點C.
(1)直接寫出A、B、C三點的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸;
(2)如圖2,連接BC,與拋物線的對稱軸交于點E,點P為線段BC上的一個動點,過點P作PF∥DE交拋物線于點F,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m;用含m的代數(shù)式表示線段PF的長;并求出當(dāng)m為何值時,四邊形PEDF為平行四邊形?
(3)如圖3,連接AC,在x軸上是否存在點Q,使△ACQ為等腰三角形,若存在,請求出點Q的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某生產(chǎn)小組6名工人某天加工零件的個數(shù)分別是10,10,11,12,8,10,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列各式運算正確的是( )
A.(﹣7)+(﹣7)=0
B.(﹣ )﹣(+ )=0??
C.0+(﹣101)=101
D.(+ )+(﹣ )=﹣
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面說法錯誤的是( )
A. 兩點確定一條直線 B. 射線AB也可以寫作射線BA
C. 等角的余角相等 D. 同角的補(bǔ)角相等
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】先化簡,再求值:5x2y﹣[6xy﹣2(xy﹣2x2y)﹣xy2]+4xy,其中x,y滿足|x+ |+(y﹣1)2=0.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大型超市的采購人員先后購進(jìn)兩批晉祠大米,購進(jìn)第一批大米共花費5400元,進(jìn)貨單價為m元/千克,該超市將其中3000千克優(yōu)等品以進(jìn)貨單價的兩倍對外出售,余下的二等品則以1.5元/千克的價格出售.當(dāng)?shù)谝慌竺兹渴鄢龊,花費5000元購進(jìn)了第二批大米,這一次的進(jìn)貨單價比第一批少了0.2元.其中優(yōu)等品占總重量的一半,超市以2元/千克的單價出售優(yōu)等品,余下的二等品在這批進(jìn)貨單價的基礎(chǔ)上每千克加價0.6元后全部賣完,若不計其他成本,則售完第二批大米獲得的總利潤是4000元(總售價﹣總進(jìn)價=總利潤)
(1)用含m的代數(shù)式表示第一批大米的總利潤.
(2)求第一批大米中優(yōu)等品的售價.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線l:y=x+m與x軸交于A點,且經(jīng)過點B(﹣,2).已知拋物線C:y=ax2+bx+9與x軸只有一個公共點,恰為A點.
(1)求m的值及∠BAO的度數(shù);
(2)求拋物線C的函數(shù)表達(dá)式;
(3)將拋物線C沿x軸左右平移,記平移后的拋物線為C1,其頂點為P.
平移后,將△PAB沿直線AB翻折得到△DAB,點D能否落在拋物線C1上?
如能,求出此時頂點P的坐標(biāo);如不能,說明理由.
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