【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90° ,AC=BC=4 點D是邊AB上的動點(點D與點A、B不重合),過點D作DE⊥AB交射線BC于點E,聯(lián)結(jié)AE,點F是AE的中點,過點D、F作直線,交AC于點G,聯(lián)結(jié)CF、CD.
(1)當(dāng)點E在邊BC上,設(shè)DB=, CE=
①寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及定義域;
②判斷△CDF的形狀,并給出證明;
(2)如果AE=,求DG的長.
【答案】(1)①y=4-x(0<x≤2);②等腰直角三角形;證明見解析;(2)或
【解析】
(1)①先證△DEB為等腰直角三角形,設(shè)DB=x,CE=y知EB=x,由EB+CE=4知x+y=4,從而得出答案;②由∠ADE=90°,點F是AE的中點知CF=AF=AE,DF=AF=AE,據(jù)此得出CF=DF,再由∠CFE=2∠CAE,∠EFD=2∠EAD知∠CFD=∠CFE+∠EFD=2∠CAE+2∠EAD=2∠CAD,結(jié)合∠CAB=45°知∠CFD=90°,據(jù)此可得答案;
(2)分點E在BC上和BC延長線上兩種情況,分別求出DF、GF的長,從而得出答案.
解:(1)①∵∠ACB=90°,AC=BC=4,
∴AB=4,∠B=∠BAC=45°,
又∵DE⊥AB,
∴△DEB為等腰直角三角形,
∵DB=x,CE=y,
∴EB=x,
又∵EB+CE=4,
∴x+y=4,
∴y=4-x(0<x≤2);
②∵DE⊥AB,∠ACB=90°,
∴∠ADE=90°,
∵點F是AE的中點,
∴CF=AF=AE,DF=AF=AE,
∴CF=DF,
∵∠CFE=2∠CAE,∠EFD=2∠EAD,
∴∠CFD=∠CFE+∠EFD=2∠CAE+2∠EAD=2∠CAD,
∵∠CAB=45°,
∴∠CFD=90°,
∴△CDF是等腰直角三角形;
(2)如圖1,當(dāng)點E在BC上時,,AC=4,
在Rt△ACE中,CE=,
則AE=2CE,
∴∠CAE=30°,
又CF=DF=AE=,
在Rt△CFG中,GF=,
∴DG=DF+FG=;
如圖2,當(dāng)點E在BC延長線上時,∠CFD=90°,
同理可得CF=DF=AE=,
在Rt△CFG中,GF=,
∴DG=DF-FG=.
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【題目】在正方形中,為正方形的外角的角平分線,點在線段上,過點作于點,連接,過點作于點,交射線于點.
()如圖1,若點與點重合.
①依題意補全圖1.
②判斷與的數(shù)量關(guān)系并加以證明.
()如圖2,若點恰好在線段上,正方形的邊長為,請寫出求長的思路(可以不寫出計算結(jié)果).
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【題目】如圖,△ABC中,CD為AB邊上的高,AD=8,CD=4,BD=3.動點P從點A出發(fā),沿射線AB運動,速度為1個單位/秒,運動時間為t秒.
(1)當(dāng)t為何值時,△PDC≌△BDC;
(2)當(dāng)t為何值時,△PBC是等腰三角形?
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【題目】某商場老板對一種新上市商品的銷售情況進(jìn)行記錄,已知這種商品進(jìn)價為每件40元,經(jīng)過記錄分析發(fā)現(xiàn),當(dāng)銷售單價在40元至90元之間(含40元和90元)時,每月的銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關(guān)系可近似地看作一次函數(shù),其圖象如圖所示.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式.
(2)設(shè)商場老板每月獲得的利潤為P(元),求P與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)如果想要每月獲得2400元的利潤,那么銷售單價應(yīng)定為多少元?
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD、CM分別是斜邊上的高和中線,那么下列結(jié)論中錯誤的是( )
A.CM=ACB.∠ACM=∠DCBC.AD=DMD.DB=4AD
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【題目】如圖,將邊長為2cm的正方形ABCD沿其對角線AC剪開,再把△ABC沿著AD方向平移,得到△A′B′C′,若兩個三角形重疊部分的面積為1cm2,則它移動的距離AA′等于( )
A. 0.5cm B. 1cm C. 1.5cm D. 2cm
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【題目】在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于點D,DE垂直平分線段AB.
(1)求∠A;
(2)若DE=2cm,BD=4cm,求AC的長.
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【題目】如圖,每個小方格的邊長為1,已知點A(2,2),把點A先向左平移4個單位,再向下平移2個單位到達(dá)點B;把點B先向右平移2個單位,再向下平移4個單位到達(dá)點C.
(1)在圖中畫出△ABC,并直接寫出B,C兩點的坐標(biāo):B( ),C( ).
(2)求△ABC的面積.
(3)判斷△ABC的形狀,并說明理由.
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【題目】已知菱形的一個角與三角形的一個角重合,然后它的對角頂點在這個重合角的對邊上,這個菱形稱為這個三角形的親密菱形,如圖,在△CFE中,CF=6,CE=12,∠FCE=45°,以點C為圓心,以任意長為半徑作AD,再分別以點A和點D為圓心,大于AD長為半徑做弧,交EF于點B,AB∥CD.
(1)求證:四邊形ACDB為△CFE的親密菱形;
(2)求四邊形ACDB的面積.
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