【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,﹣),且與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),A點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0).P點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且橫坐標(biāo)為m.
(1)求拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式.
(2)若動(dòng)點(diǎn)P滿足∠PAO不大于45°,求P點(diǎn)的橫坐標(biāo)m的取值范圍.
(3)是否存在P點(diǎn),使∠PAC=∠BCO?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)拋物線為y=(x﹣1)2﹣;
(2)﹣4≤m≤0;
(3)存在,當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)(﹣1,﹣)或(﹣3,)時(shí),∠PAC=∠BCO.
【解析】
試題分析:(1)設(shè)拋物線為y=a(x﹣1)2﹣,把點(diǎn)(4,0)代入即可解決問題.
(2)如圖1中,求出∠PAO=45°時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo),由此即可解決問題.
(3)存在.如圖2中,∠P1AO=∠BCO,設(shè)AP1交y軸于E,理由相似三角形求出OE的長,再求出直線CE與拋物線的交點(diǎn)即可解決問題,根據(jù)對(duì)稱性再求出P2坐標(biāo)即可.
試題解析:(1)設(shè)拋物線為y=a(x﹣1)2﹣,
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)(4,0),
∴0=9a﹣,
∴a=,
∴拋物線為y=(x﹣1)2﹣.
(2)∵y=(x﹣1)2﹣.
令x=0,則y=﹣4,∴點(diǎn)C坐標(biāo)(0,﹣4),
令y=0,(x﹣1)2=9,解得x=﹣2或4,
∴點(diǎn)B坐標(biāo)(﹣2,0),點(diǎn)A坐標(biāo)(4,0).
∴OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=45°,
如圖1中,過點(diǎn)A作直線AP1⊥AC,交拋物線于P1,
∵直線AC為y=x﹣4,
∴直線AP1為y=﹣x+4,
由,解得或,
∴點(diǎn)P1坐標(biāo)(﹣4,8),
∴當(dāng)點(diǎn)P在P1與C之間時(shí),∠PAO不大于45°,
∴﹣4≤m≤0.
(3)存在.
理由:如圖2中,∠P1AO=∠BCO,設(shè)AP1交y軸于E,
∵△BCO∽△EAO,
∴,
∴,
∴EO=2,
∴點(diǎn)E坐標(biāo)(0,2),
∴直線AE為y=﹣x+2,
由解得或,
∴p1(﹣3,).
根據(jù)對(duì)稱性∠P2AO=∠BCO時(shí),設(shè)AP2交y軸于F,則點(diǎn)F坐標(biāo)(0,﹣2),
∴直線AF為y=x﹣2,
由解得或,
∴點(diǎn)P2(﹣1,﹣).
∴當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)(﹣1,﹣)或(﹣3,)時(shí),∠PAC=∠BCO.
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【題目】我國是一個(gè)嚴(yán)重缺水的國家,淡水資源總量為28000億立方米,人均淡水資源低于世界平均水平,因此,珍惜水、保護(hù)水是我們每一位公民的責(zé)任,其中數(shù)據(jù)28000用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.28×103
B.2.8×104
C.0.28×105
D.2.8×105
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【題目】隨著紀(jì)錄片《穹頂之下》的播出,全社會(huì)對(duì)空氣污染問題越來越重視,空氣凈化器的銷量也逐步增大.某商場(chǎng)從廠家購進(jìn)了A,B兩種型號(hào)的空氣凈化器,已知一臺(tái)A型空氣凈化器的進(jìn)價(jià)比一臺(tái)B型空氣凈化器的進(jìn)價(jià)多300元,用7 500元購進(jìn)A型空氣凈化器和用6 000元購進(jìn)B型空氣凈化器的臺(tái)數(shù)相同.
(1)求一臺(tái)A型空氣凈化器和一臺(tái)B型空氣凈化器的進(jìn)價(jià)各為多少元?
(2)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,當(dāng)B型空氣凈化器的售價(jià)為1800元時(shí),每天可賣出4臺(tái),在此基礎(chǔ)上,售價(jià)每降低50元,每天將多售出1臺(tái),如果每天商場(chǎng)銷售B型空氣凈化器的利潤為3200元,請(qǐng)問該商場(chǎng)應(yīng)將B型空氣凈化器的售價(jià)定為多少元?
(3)已知A型空氣凈化器凈化能力為340m3/h,B型空氣凈化器凈化能力為240m3/h.某公司室內(nèi)辦公場(chǎng)地總面積為600m2,室內(nèi)墻高3.5m.受二胎政策影響,近期孕婦數(shù)量激增,為保證胎兒健康成長,該公司計(jì)劃購買15臺(tái)空氣凈化器凈化空氣,每天花費(fèi)30分鐘將室內(nèi)空氣凈化一新,若不考慮空氣對(duì)流等因素,該公司至少要購買A型空氣凈化器多少臺(tái)?
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【題目】甲、乙兩班分別由10名選手參加健美比賽,兩班參賽選手身高的方差分別是S甲2=1.5,S乙2=2.5,則下列說法正確的是( )
A.甲班選手比乙班選手的身高整齊
B.乙班選手比甲班選手的身高整齊
C.甲、乙兩班選手的身高一樣整齊
D.無法確定哪班選手的身高整齊
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC= ,∠C=30°.點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t>0).過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,連接DE、EF.
(1)求證:AE=DF;
(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎?如果能,求出相應(yīng)的t值;如果不能,說明理由.
(3)當(dāng)t為何值時(shí),△DEF為直角三角形?請(qǐng)說明理由.
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【題目】觀察如圖所示的圖形,并閱讀相關(guān)文字信息后回答下列問題:
2條直線相交,最多有1個(gè)交點(diǎn);3條直線相交,最多有3個(gè)交點(diǎn);4條直線相交,最多有6個(gè)交點(diǎn).
(1)8條直線相交,最多有幾個(gè)交點(diǎn)?
(2)設(shè)有n條直線相交,最多有y個(gè)交點(diǎn),請(qǐng)用含n的代數(shù)式表示y.
(3)當(dāng)最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4950時(shí),此時(shí)直線有幾條?
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