【題目】如圖,拋物線y=x2+mx+4mx軸交于點A(0)和點B(,0),與y軸交于點C,,若對稱軸在y軸的右側(cè).

1)求拋物線的解析式

2)在拋物線的對稱軸上取一點M,使|MC-MB|的值最大;

3)點Q是拋物線上任意一點,過點QPQx軸交直線BC于點P,連接CQ,當△CPQ是等腰三角形時,求點P的坐標.

【答案】1y=-x-4;(2M(1,-6);(3P1 (),P2(2,-2),P3()

【解析】

1)利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出m,結(jié)合對稱軸在y軸右側(cè)可得結(jié)果;

2)根據(jù)點A和點B關(guān)于對稱軸對稱,過點AC作直線交對稱軸于點M,求出A,B,C的坐標,求出AC的表達式,得到點M的坐標即可;

3)分PC=PQ,QC=QP,CP=CQ分別討論,求出相應x值即可.

解:(1)∵y=x2+mx+4mx軸交于,0)和點B(,0)

是方程x2+mx+4m=0的兩個根,

,

,

(-2m)2-16m=20,

解得m1=5,m2=-1,

∵對稱軸在y軸的右側(cè),

m=-1,

y=-x-4;

2y=-x-4中,當x=0時,y=-4,

y=0=-2,=4

A(-2,0),B(4,0),C(0,-4),

過點AC作直線交對稱軸于點M,

設直線AC的解析式為y=kx+b,

(-2,0),(0,-4)代入,

,

解得

y=-2x-4,當x=1時,y=-6,

M(1,-6);

3)直線BC的解析式為y=k1x+b1,

(40),(0,-4)代入,

,

解得,

y=x-4,

∴∠OCB=OBC=45°,

P的橫坐標為x,作PHy軸于H,

PC=,

PQ=|(x-4)--x-4|

(圖一) (圖二)

如圖一圖二,當CQ=CP時,(x-4)+-x-4=-8,

x=0,不合題意,所以不存在;

(圖三) (圖四) (圖五)

如圖三,當PC=PQ時,=(x-4)- -x-4),

解得x=,

P()

如圖四,當CQ=PQ時,x=(x-4)- -x-4),

解得x=2,

P(2,-2);

如圖五,當PC=PQ

-x-4-(x-4)=,

解得:x=,

P();

綜上:P1() ,P2(2,-2),P3().

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