【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=AD=CD,以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,連接AC,OD交于點(diǎn)E.
(1)證明:OD∥BC;
(2)若tan∠ABC=2,證明:DA與⊙O相切;
(3)在(2)條件下,連接BD交于⊙O于點(diǎn)F,連接EF,若BC=1,求EF的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)
【解析】(1)連接OC,證△OAD≌△OCD得∠ADO=∠CDO,由AD=CD知DE⊥AC,再由AB為直徑知BC⊥AC,從而得OD∥BC;
(2)根據(jù)tan∠ABC=2可設(shè)BC=a、則AC=2a、AD=AB=,證OE為中位線(xiàn)知OE=a、AE=CE=AC=a,進(jìn)一步求得DE==2a,在△AOD中利用勾股定理逆定理證∠OAD=90°即可得;
(3)先證△AFD∽△BAD得DFBD=AD2①,再證△AED∽△OAD得ODDE=AD2②,由①②得DFBD=ODDE,即,結(jié)合∠EDF=∠BDO知△EDF∽△BDO,據(jù)此可得,結(jié)合(2)可得相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng),代入計(jì)算可得.
(1)如圖,連接OC,
在△OAD和△OCD中,
,
∴△OAD≌△OCD(SSS),
∴∠ADO=∠CDO,
又AD=CD,
∴DE⊥AC,
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACB=90°,即BC⊥AC,
∴OD∥BC;
(2)∵tan∠ABC==2,
∴設(shè)BC=a、則AC=2a,
∴AD=AB=,
∵OE∥BC,且AO=BO,
∴OE=BC=a,AE=CE=AC=a,
在△AED中,DE==2a,
在△AOD中,AO2+AD2=()2+(a)2=a2,
OD2=(OF+DF)2=(a+2a)2=a2,
∴AO2+AD2=OD2,
∴∠OAD=90°,
則DA與⊙O相切;
(3)如圖,連接AF,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠AFD=∠BAD=90°,
∵∠ADF=∠BDA,
∴△AFD∽△BAD,
∴,即DFBD=AD2①,
又∵∠AED=∠OAD=90°,∠ADE=∠ODA,
∴△AED∽△OAD,
∴,即ODDE=AD2②,
由①②可得DFBD=ODDE,即,
又∵∠EDF=∠BDO,
∴△EDF∽△BDO,
∴,
∵BC=1,
∴AB=AD=、OD=、ED=2、BD=、OB=,
∴,
∴EF=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AD⊥BC于點(diǎn)D,AD=DC,點(diǎn)F在AD上,AB=FC,BF的延長(zhǎng)線(xiàn)交AC于點(diǎn)E.
(1)求證:△ABD≌△CFD.
(2)求證:CF⊥AB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】探索題:
(x-1)(x+1)=x-1
(x-1)(x+x+1)=x-1
(x-1)(x+x+x+1)=x-1
(x-1)(x+ x+x+x+1)=x-1
(1)觀察以上各式并猜想:
①(x-1)(x+x+x+ x+x+x+1)= ;
②(x-1)(x+x+x+… x+x+x+1)= ;
(2)請(qǐng)利用上面的結(jié)論計(jì)算:
①(-2)+(-2)+(-2)+…+(-2)+1
②若 x+x+…+x+x+x+1=0,求 x的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下列文字,對(duì)于一個(gè)圖形,通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積,可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式,例如:由圖1可以得到,請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
(1)寫(xiě)出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式 ;
(2)利用(1)中所得到的結(jié)論,解決問(wèn)題:已知,,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知頂點(diǎn)為C(0,﹣3)的拋物線(xiàn)y=ax2+b(a≠0)與x軸交于A,B兩點(diǎn),直線(xiàn)y=x+m過(guò)頂點(diǎn)C和點(diǎn)B.
(1)求m的值;
(2)求函數(shù)y=ax2+b(a≠0)的解析式;
(3)拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)M,使得∠MCB=15°?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,學(xué)校位于高速路AB的一側(cè)(AB成一條直線(xiàn)),點(diǎn)A,B為高速路上距學(xué)校直線(xiàn)距離最近的2個(gè)隧道出入口,點(diǎn)C、D為學(xué)校的兩棟教學(xué)樓,經(jīng)測(cè)量∠ACB=90°,∠ADB>90°,AC=600m,AB=1000m,點(diǎn)D到高速路的最短直線(xiàn)距離DE=400m.
(1)求教學(xué)樓C到隧道口B的直線(xiàn)距離;
(2)比較AC2+BC2與AD2+BD2誰(shuí)大誰(shuí)小,試用計(jì)算說(shuō)明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知正方形ABCO,A(0,3),點(diǎn)D為x軸上一動(dòng)點(diǎn),以AD為邊在AD的右側(cè)作等腰Rt△ADE,∠ADE=90°,連接OE,則OE的最小值為( )
A. B. C. 2D. 3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一輛出租車(chē)司機(jī)某天在東西方向的公路上營(yíng)運(yùn),往東行駛的路程記作正數(shù),往西行駛的路程記作負(fù)數(shù).全天行程的記錄如下:30,-28,-13,15,27,-30,45,-27;(單位:千米)
(1)當(dāng)小張將最后一位乘客送到目的地時(shí),距出發(fā)地點(diǎn)的距離為多少千米?
(2)若每千米的營(yíng)業(yè)額為7元,則小張這天的總營(yíng)業(yè)額為多少元?
(3)在(2)的情況下,如果營(yíng)運(yùn)成本為每千米2元,那么這天盈利多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)M是斜邊AB的中點(diǎn),MD∥BC,且MD=CM,DE⊥AB于點(diǎn)E,連結(jié)AD、CD.
(1)求證:△MED∽△BCA;
(2)求證:△AMD≌△CMD;
(3)設(shè)△MDE的面積為S1,四邊形BCMD的面積為S2,當(dāng)S2=S1時(shí),求cos∠ABC的值.
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