Question

【題目】九二班計(jì)劃購買A、B兩種相冊(cè)共42冊(cè)作為畢業(yè)禮品，已知A種相冊(cè)的單價(jià)比B種的多10元，買4冊(cè)A種相冊(cè)與買5冊(cè)B種相冊(cè)的費(fèi)用相同．

（1）求A、B兩種相冊(cè)的單價(jià)分別是多少元？

（2）由于學(xué)生對(duì)兩類相冊(cè)喜好不同，經(jīng)調(diào)查得知：購買的A種相冊(cè)的數(shù)量要少于B種相冊(cè)數(shù)量的，但又不少于B種相冊(cè)數(shù)量的，如果設(shè)買A種相冊(cè)x冊(cè)．

①有多少種不同的購買方案？

②商店為了促銷，決定對(duì)A種相冊(cè)每冊(cè)讓利a元銷售（12≤a≤18），B種相冊(cè)每冊(cè)讓利b元銷售，最后班委會(huì)同學(xué)在付款時(shí)發(fā)現(xiàn)：購買所需的總費(fèi)用與購買的方案無關(guān)，當(dāng)總費(fèi)用最少時(shí)，求此時(shí)a的值．

Answer 1

【答案】（1）A種相冊(cè)的單價(jià)為50元，B種相冊(cè)的單價(jià)為40元；（2）①x可取12、13、14、15、16、17，共6種不同的購買方案；②18．

【解析】

(1)設(shè)A種相冊(cè)的單價(jià)為m元，B種相冊(cè)的單價(jià)為n元，根據(jù)“A種相冊(cè)的單價(jià)比B種的多10元，買4冊(cè)A種相冊(cè)與買5冊(cè)B種相冊(cè)的費(fèi)用相同”，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

(2)①根據(jù)“購買的A種相冊(cè)的數(shù)量要少于B種相冊(cè)數(shù)量的 ，但又不少于B種相冊(cè)數(shù)量的 ”，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，再結(jié)合x為正整數(shù)即可得出x的可能值，進(jìn)而可得出購買方案的種數(shù)；

②設(shè)購買總費(fèi)用為w元，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，由購買所需的總費(fèi)用與購買的方案無關(guān)可得出b＝a﹣10，進(jìn)而可得出w關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．

解：（1）設(shè)A種相冊(cè)的單價(jià)為m元，B種相冊(cè)的單價(jià)為n元，

依題意，得： ，

解得： ．

答：A種相冊(cè)的單價(jià)為50元，B種相冊(cè)的單價(jià)為40元．

（2）①根據(jù)購買的A種相冊(cè)的數(shù)量要少于B種相冊(cè)數(shù)量的，但又不少于B種相冊(cè)數(shù)量的得：

，

解得：12≤x＜18．

又∵x為正整數(shù)，

∴x可取12、13、14、15、16、17，共6種不同的購買方案．

②設(shè)購買總費(fèi)用為w元，

依題意得：w＝(50﹣a）x+(40﹣b)(42﹣x)＝(10﹣a+b)x+42(40﹣b)．

∵購買所需的總費(fèi)用與購買的方案無關(guān)，則w的值與x無關(guān)，

∴10﹣a+b＝0，

∴b＝a﹣10，

∴w＝42(40-b)＝42[40-(a-10)]＝﹣42a+2100．

∵﹣42＜0，

∴w隨a的增大而減�。�

又∵12≤a≤18，

∴當(dāng)a＝18時(shí)，w取得最小值．

答：當(dāng)總費(fèi)用最少時(shí)，a的值為18．