Question

【題目】（問題情境）在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），點P為直線BC上一動點（不與點B、C重合），連接AP，將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ旋轉(zhuǎn)角為α，連接CQ．

（特例分析）（1）當(dāng)α＝90°，點P在線段BC上時，過P作PF∥AC交直線AB于點F，如圖①，易得圖中與△APF全等的一個三角形是　 ，∠ACQ＝　 　°．

（拓展探究）（2）當(dāng)點P在BC延長線上，AB：AC＝m：n時，如圖②，試求線段BP與CQ的比值；

（問題解決）（3）當(dāng)點P在直線BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4時，請直接寫出線段CQ的長．

Answer 1

【答案】（1）△PQC，90；（2）；（3）線段CQ的長為2或8．

【解析】

（1）△ABC是等腰直角三角形，PF∥AC，得到△BPF是等腰直角三角形，證明AF＝CP，利用旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)證明AP＝PQ，∠PAF＝∠QPC，從而可得結(jié)論，

（2）過P作PF∥AC，交BA的延長線于F，則，再證明△AFP≌△PCQ，利用△ABC∽△FBP的性質(zhì)可得答案，

（3）分情況討論：當(dāng)P在CB的延長線上時，證明△APC≌△QPC，利用等邊三角形的性質(zhì)可得答案，當(dāng)P在BC的延長線上時，連接AQ，利用等邊三角形的性質(zhì)，證明△ACQ≌△PCQ，從而可得答案．

解：（1）如圖①，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵PF∥AC，

∴∠BPF＝∠BFP＝45°，

∴△BPF是等腰直角三角形，

∴BF＝BP，

∴AF＝CP，

由旋轉(zhuǎn)可得，AP＝PQ，∠APQ＝90°，而∠BPF＝45°，

∴∠QPC＝45°﹣∠APF，

又∵∠PAF＝∠PFB﹣∠APF＝45°﹣∠APF，

∴∠PAF＝∠QPC，

∴△APF≌△PQC，

∴∠PCQ＝∠AFP＝135°，

又∵∠ACB＝45°，

∴∠ACQ＝90°，

故答案為：△PQC，90；

（2）如圖②，過P作PF∥AC，交BA的延長線于F，則，

又∵AB＝BC，

∴AF＝CP，

又∵∠FAP＝∠ABC+∠APB＝α+∠APB，∠CPQ＝∠APQ+∠APB＝α+∠APB，

∴∠FAP＝∠CPQ，

由旋轉(zhuǎn)可得，PA＝PQ，

∴△AFP≌△PCQ，

∴FP＝CQ，

∵PF∥AC，

∴△ABC∽△FBP，

∴，

∴

（3）如圖，當(dāng)P在CB的延長線上時，

∠CPQ＝∠APQ﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，

∴∠APC＝∠QPC，

又∵AP＝QP，PC＝PC，

∴△APC≌△QPC，

∴CQ＝AC，

又∵BA＝BC，∠ABC＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝60°，∠BAP＝∠ABC﹣∠APB＝30°，

∴BP＝AB＝BC＝PC＝2，

∴QC＝AC＝BC＝2；

如圖，當(dāng)P在BC的延長線上時，連接AQ，

由旋轉(zhuǎn)可得，AP＝QP，∠APQ＝∠ABC＝60°，

∴△APQ是等邊三角形，

∴AQ＝PQ，∠APQ＝60°＝∠AQP，

又∵∠APB＝30°，∠ACB＝60°，

∴∠CAP＝30°，∠CPQ＝90°，

∴∠CAP＝∠APA，

∴AC＝PC，

∴△ACQ≌△PCQ，

∴∠AQC＝∠PQC＝∠AQP＝30°，

∴Rt△PCQ中，CQ＝2CP＝8．

綜上所述，線段CQ的長為2或8．