【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D,E分別為AC,BC上的點,且CE=CD,連接DE,AD,BE,F(xiàn)為線段AD的中點,連接CF.
(1)求證:BE=2CF;
(2)如圖2,把△DEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<90°),其他條件不變,試探究線段BE與CF的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)如圖3,把△DEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°,BE,CD交于點G.若∠DCF=30°,求及的值.
【答案】(1)證明見解析;
(2)BE⊥CF.證明見解析;
(3),
【解析】試題分析:(1)根據(jù)已知條件易證△BCE≌△ACD,即可得BE=AD,∠EBC=∠DAC,再由F為線段AD的中點可得CF=AF=DF= AD,即可證得結(jié)論;(2)延長CF到H,使HF=CF,連接AH、DH,易得四邊形AHDC為平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AH=CD=CE,∠CAH=180°-∠ACD,再由∠BCE=∠BCA+∠DCE-∠ACD=180°-∠ACD,即可得∠CAH=∠BCE,再判定△CAH≌△BCE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ACH=∠CBE,所以∠CBE+∠BCH=∠ACH+∠BCH=90°,即可得結(jié)論BE⊥CF ;( 3)設(shè)BE,CF相交于點O,則∠GOC=90°,作BC的垂直平分線,交BG于點M,連接CM則BM=CM,∠MBC=∠MCB,所以∠OMC=2∠MBC,再求得∠DCA=45°,∠OMC=30°,設(shè)OG=x,則CG=2x,OC= x,BM=CM=2x,OM=OC=3x,MG=3x-x=2x,求得BG=BM+MG=2x+2x,BO=BM+MO=2x+3x,即可得, ,過E作BC的垂線,交BC的延長線于N,則Rt△BNE∽Rt△BOC,可得 ,設(shè)EN=t,則CN=t,CE=t,BN=(+2)t,BC=(+2)t-t=(+1)t,求得的值,又因AB=BC,CD=CE,即可求得的值.
試題解析:
(1)證明:∵AC=BC,DC=EC,∠ACB=90°
∴△BCE≌△ACD
∴BE=AD,∠EBC=∠DAC
∵F為線段AD的中點
∴CF=AF=DF= AD
∴BE=2CF
(2)BE⊥CF.證明如下:
證明:如圖2,延長CF到H,使HF=CF,連接AH、DH
∵AF=DF,∴四邊形AHDC為平行四邊形
∴AH=CD=CE,∠CAH=180°-∠ACD
∵∠BCE=∠BCA+∠DCE-∠ACD=180°-∠ACD
∴∠CAH=∠BCE
又∵AC=BC,∴△CAH≌△BCE
∴∠ACH=∠CBE
∴∠CBE+∠BCH=∠ACH+∠BCH=90°
∴BE⊥CF
(3)如圖3,設(shè)BE,CF相交于點O,
則∠GOC=90°
作BC的垂直平分線,交BG于點M,連接CM
則BM=CM,∠MBC=∠MCB
∴∠OMC=2∠MBC
∵AC⊥DE,∠CDE=45°,∴∠DCA=45°
∵∠DCF=30°
∴∠ACO=∠CBE=15°,∴∠OMC=30°
設(shè)OG=x,則CG=2x,OC=x,BM=CM=2x
OM=OC=3x,MG=3x-x=2x
∴BG=BM+MG=2x+2x,BO=BM+MO=2x+3x
∴ = =+1
= =+2
過E作BC的垂線,交BC的延長線于N
則Rt△BNE∽Rt△BOC,∴ = =+2
設(shè)EN=t,則CN=t,CE=t,BN=(+2)t,BC=(+2)t-t=(+1)t
∴ = =
∵AB=BC,CD=CE,∴ =
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】買一個足球需要m元,買一個籃球需要n元,則買4個足球、7個籃球共需( 。
A.28mn 元 B.11mn元 C.(7m+4n)元 D.(4m+7n)元
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】王華、張偉兩位同學分別將自己10次數(shù)學自我檢測的成績繪制成如下統(tǒng)計圖:
(1)根據(jù)上圖中提供的數(shù)據(jù)列出如下統(tǒng)計表:
平均成績(分) | 中位數(shù)(分) | 眾數(shù)(分) | 方差(S2) | |
王華 | 80 | b | 80 | d |
張偉 | a | 85 | c | 260 |
則a= ,b= ,c= ,d= ,
(2)將90分以上(含90分)的成績視為優(yōu)秀,則優(yōu)秀率高的是 .
(3)現(xiàn)在要從這兩個同學選一位去參加數(shù)學競賽,你可以根據(jù)以上的數(shù)據(jù)給老師哪些建議?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,BD為∠ABC的平分線.
(1)如圖1,∠C=2∠DBC,∠A=60°,求證:△ABC為等邊三角形;
(2)如圖2,若∠A=2∠C,BC=8,AB=4.8,求AD的長度;
(3)如圖3,若∠ABC=2∠ACB,∠ACB的平分線OC與BD相交于點O,且OC=AB,求∠A的度數(shù).
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【題目】如圖,兩直線AB,CD相交于點O,OE平分∠BOD,∠AOC∶∠AOD=7∶11.
(1)求∠COE的度數(shù);
(2)若OF⊥OE,求∠COF的度數(shù).
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【題目】若二次函數(shù)的解析式為y=2x2﹣4x+3,則其函數(shù)圖象與x軸交點的情況是( )
A.沒有交點
B.有一個交點
C.有兩個交點
D.以上都不對
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點,交y軸于點C,且B(1,0),C(0,3),將△BOC繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,C點恰好與A重合.
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)若點P為線段AB上的任一動點,過點P作PE∥AC,交BC于點E,連結(jié)CP,求△PCE面積S的最大值;
(3)設(shè)拋物線的頂點為M,Q為它的圖象上的任一動點,若△OMQ為以OM為底的等腰三角形,求Q點的坐標.
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【題目】百貨商場試銷一批新款襯衫,一周內(nèi)銷售情況如表所示,商場經(jīng)理想要了解哪種型號最暢銷,那么他最關(guān)注的統(tǒng)計量是( )
型號(厘米) | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 |
數(shù)量(件) | 23 | 31 | 35 | 48 | 29 | 8 |
A. 平均數(shù) B. 中位數(shù) C. 眾數(shù) D. 方差
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示是二次函數(shù)y=﹣ x2+2的圖象在x軸上方的一部分,對于這段圖象與x軸所圍成的陰影部分的面積,你認為與其最接近的值是( )
A.4
B.
C.2π
D.8
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