【題目】在△ABC中,BD為∠ABC的平分線.
(1)如圖1,∠C=2∠DBC,∠A=60°,求證:△ABC為等邊三角形;

(2)如圖2,若∠A=2∠C,BC=8,AB=4.8,求AD的長度;

(3)如圖3,若∠ABC=2∠ACB,∠ACB的平分線OC與BD相交于點O,且OC=AB,求∠A的度數(shù).

【答案】
(1)

解:∵BD為∠ABC的平分線,

∴∠ABC=2∠DBC

∵∠C=2∠DBC,

∴∠ABC=∠C,

∴AB=AC,

∵∠A=60°,

∴△ABC是等邊三角形


(2)

解:如圖2,截取BE=AB,連接DE,

在△ABD與△EBD中, ,

∴△ABD≌△EBD,

∴∠A=∠DEB,AD=ED,

∵∠A=2∠C,

∴∠DEB=2∠C,

∵∠DEB=∠C=∠EDB,

∴∠C+∠EDB=2∠C,

∴∠C=∠EDB,

∴ED=EC,

∵AB=4.8,

∴CE=BC﹣BE=3.2,

∴AD=DE=CE=3.2


(3)

解:如圖3,過B作BF平分∠DBC交AC于F,

∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC,

即∠ABC=2∠ABD=2∠CBD,

∵∠ABC=2∠ACB,

∴∠ACB=∠ABD=∠CBD,

∵OC平分∠ACB,BF平分∠DBC,

∴∠1=∠3= ∠DBC,∠4=∠2= ∠ACB,

∴∠1=∠2=∠3=∠4,

在△OBC與△FCB中, ,

∴△OBC≌△FCB,

∴OC=BF,

∵AB=OC,

∴BF=AB,

∵∠ABF=∠ABD+∠3,∠AFB=∠ACB+∠1,

∵∠ABD=∠ACB,∠1=∠3,

∴∠ABF=∠AFB,

∴AB=AF,

∴AB=BF=AF,

∴△ABF為等邊三角形,

∴∠A=60°


【解析】(1)由BD為∠ABC的平分線,得到∠ABC=2∠DBC,等量代換得到∠ABC=∠C,證得AB=AC,即可得到結論;(2)如圖2,截取BE=AB,連接DE,推出△ABD≌△EBD,根據(jù)全等三角形的性質得到∠A=∠DEB,AD=ED,由∠A=2∠C,得到∠DEB=2∠C,求出∠C=∠EDB,得到ED=EC即可得到結論;(3)過B作BF平分∠DBC交AC于F,根據(jù)角平分線的性質得到BD平分∠ABC,∠ABC=2∠ABD=2∠CBD,由∠ABC=2∠ACB,得到∠ACB=∠ABD=∠CBD,由角平分線的定義得到∠1=∠3= ∠DBC,∠4=∠2= ∠ACB,推出△OBC≌△FCB,根據(jù)全等三角形的性質得到OC=BF,由AB=OC,得到BF=AB等量代換得到∠ABF=∠AFB,求得AB=AF,即可得到結論.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解角的平分線的相關知識,掌握從一個角的頂點引出的一條射線,把這個角分成兩個相等的角,這條射線叫做這個角的平分線,以及對角平分線的性質定理的理解,了解定理1:在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等; 定理2:一個角的兩邊的距離相等的點,在這個角的平分線上.

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