【題目】如圖,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y=﹣x2+2mx(m>0)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A.過(guò)點(diǎn)P(1,m)作直線PM⊥x軸于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)B.記點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C(B、C不重合).連接CB,CP.

(1)當(dāng)m=3時(shí),求點(diǎn)A的坐標(biāo)及BC的長(zhǎng);
(2)當(dāng)m>1時(shí),連接CA,問(wèn)m為何值時(shí)CA⊥CP?
(3)過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PC且PE=PC,問(wèn)是否存在m,使得點(diǎn)E落在坐標(biāo)軸上?若存在,求出所有滿足要求的m的值,并定出相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:當(dāng)m=3時(shí),y=﹣x2+6x

令y=0得﹣x2+6x=0

∴x1=0,x2=6,

∴A(6,0)

當(dāng)x=1時(shí),y=5

∴B(1,5)

∵拋物線y=﹣x2+6x的對(duì)稱軸為直線x=3

又∵B,C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱

∴BC=4.


(2)解:連接AC,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H(如圖1)

由已知得∠ACP=∠BCH=90°

∴∠ACH=∠PCB

又∵∠AHC=∠PBC=90°

∴△ACH∽△PCB,

,

∵拋物線y=﹣x2+2mx的對(duì)稱軸為直線x=m,其中m>1,

又∵B,C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,

∴BC=2(m﹣1),

∵B(1,2m﹣1),P(1,m),

∴BP=m﹣1,

又∵A(2m,0),C(2m﹣1,2m﹣1),

∴H(2m﹣1,0),

∴AH=1,CH=2m﹣1,

,

∴m=


(3)解:∵B,C不重合,∴m≠1,

(I)當(dāng)m>1時(shí),BC=2(m﹣1),PM=m,BP=m﹣1,

(i)若點(diǎn)E在x軸上(如圖1),

∵∠CPE=90°,

∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°,PC=EP,

在△BPC和△MEP中,

∴△BPC≌△MEP,

∴BC=PM,

∴2(m﹣1)=m,

∴m=2,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,0);

(ii)若點(diǎn)E在y軸上(如圖2),

過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N,

易證△BPC≌△NPE,

∴BP=NP=OM=1,

∴m﹣1=1,

∴m=2,

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(0,4);

(II)當(dāng)0<m<1時(shí),BC=2(1﹣m),PM=m,BP=1﹣m,

(i)若點(diǎn)E在x軸上(如圖3),

易證△BPC≌△MEP,

∴BC=PM,

∴2(1﹣m)=m,

∴m= ,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是( ,0);

(ii)若點(diǎn)E在y軸上(如圖4),

過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N,

易證△BPC≌△NPE,

∴BP=NP=OM=1,

∴1﹣m=1,∴m=0(舍去),

綜上所述,當(dāng)m=2時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,0)或(0,4),

當(dāng)m= 時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)是( ,0).


【解析】(1)利用中點(diǎn)公式可知,兩對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)和的一半就是對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)坐標(biāo);(2)由垂直可構(gòu)造出相似三角形,用m的代數(shù)式表示相似三角形的邊長(zhǎng),代入比例式中構(gòu)建方程,即可求出;(3)須分類討論,m>1或0<m<1,再分點(diǎn)E在x軸上或y 軸上,由垂直和相等關(guān)系構(gòu)建全等三角形,對(duì)應(yīng)邊相等可求出.

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A.線段PE
B.線段PD
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A. 在調(diào)查的學(xué)生中最喜愛(ài)籃球的人數(shù)是50

B. 喜歡羽毛球在統(tǒng)計(jì)圖中所對(duì)應(yīng)的圓心角是144°

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∴∠1=∠3(______)

BDCE(______)

∴∠C=∠ABD(______)

又∵∠C=∠D(已知)

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________(________)

∴∠A=∠F(________)

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