【題目】綜合與探究如圖,在正方形中,點在邊所在的直線上運動但不與點重合,點在線段.上運動,過點的直線,分別交于點.
觀察探究:(1)如圖1,當點在邊上時,判斷并說明與的數(shù)量關(guān)系;
探究發(fā)現(xiàn):(2)勤奮小組在圖1的基礎(chǔ)上得到圖2,點為中點時,其他條件不變,連接正方形的對角線與交于點,連接,此時, ,請利用圖2證明;
探究拓展:(3)如圖3,縝密小組在勤奮小組的啟發(fā)下,當點在點右側(cè)時,如果(2)中的其他條件不變,直線分別交直線于點,他們發(fā)現(xiàn)線段與之間存在數(shù)量關(guān)系,線段與之間也存在數(shù)量關(guān)系,請你直接寫出.
【答案】(1)AE=MN,理由見解析;(2)見解析;(3)與的數(shù)量關(guān)系是:,與的數(shù)量關(guān)系是:
【解析】
(1)過點作交 于點,構(gòu)建平行四邊形PMND,再證明△ABE≌△DAP,即可得出結(jié)論;
(2)連接AG、EG、CG,構(gòu)建全等三角形和直角三角形,證明AG=EG=CG,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得∠AGE=90°,在Rt△ABE和Rt△AGE中,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得BF=AE,FG=AE,則BF=FG;
(3)AE=MN,證明△AEB≌ONMQ; BF=FG,同理得出BF和FG分別是直角△AEB和直角△AGE斜邊.上的中線,則BF=AE,FG=AE,所以BF=FG.
解:(1)
理由如下:如答圖 1,過點作交 于點,則
四邊形是正方形,
四邊形是平行四邊形,
于
又
(2)如答圖 2,連接
由正方形的軸對稱性得:
于點,點為 中點,
由答圖 2 可知
又四邊形的內(nèi)角和為
在和中,為斜邊,點 為的中點
(3)AE與MN的數(shù)量關(guān)系是:AE=MN,理由是:
如圖3,過C作CK∥MN交AB于K,
∴∠CKB=∠NMB=∠FMA
又∵正方形ABCD∴AB∥CD,AB=BC, ∠ABC=∠ABE=90°
∴四邊形CNMK是平行四邊形,∴CK=MN
∵MN⊥EF∴∠FMA+∠MAF=90°
∵∠BEA+∠MAF=90°
∴∠BEA=∠FMA=∠NMB=∠CKB
∴△CBK≌△ABE
∴AE=CK∴AE=MN
與的數(shù)量關(guān)系是:理由是:
連接CG、AG、EG,
由正方形的軸對稱性得:
于點,點為 中點,
在Rt△ABE中,∠AEB+∠EAB=90°,即∠BAE+∠GEA+∠GEB=90°
∴∠BAE+∠GEA+∠GAB=90°∴∠GEA+∠GAE=90°
∵∠GEA+∠GAE+∠EGA=180°
∴∠EGA=90°
在和中,為斜邊,點 為的中點
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形中,點是線段上一動點, 為的中點, 的延長線交BC于.
(1)求證: ;
(2)若,,從點出發(fā),以l的速度向運動(不與重合).設(shè)點運動時間為,請用表示的長;并求為何值時,四邊形是菱形.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)若∠ADF:∠FDC=3:2,DF⊥AC,求∠BDF的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線與反比例函數(shù)的圖象相交于、兩點,過、兩點分別作軸的垂線,垂足分別為點、,連接、,則四邊形的面積為( )
A.4B.8C.12D.24
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【題目】“十·一”期間,某服裝店為了吸引更多的顧客購買服裝,在.店門口設(shè)計了一個轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤促銷活動:當顧客轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,根據(jù)指針指示返還相應(yīng)的現(xiàn)金,若指針指在分界線時,需要重新轉(zhuǎn)動,直到指向數(shù)字為止,購買幾件服裝就轉(zhuǎn)動幾次轉(zhuǎn)盤.李女士購買了兩件服裝,她得到返還的現(xiàn)金數(shù)不低于元的概率是__________.
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E、F分別是AD、BC的中點,連接AF、BE交于點G,連接CE、DF交于點H.
(1)求證:四邊形EGFH為平行四邊形;
(2)當AB與BC滿足什么條件時,四邊形EGFH為矩形?并說明理由.
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【題目】如圖,已知點A1,A2,…,An均在直線上,點B1,B2,…,Bn均在雙曲線上,并且滿足:A1B1⊥x軸,B1A2⊥y軸,A2B2⊥x軸,B2A3⊥y軸,…,AnBn⊥x軸,BnAn+1⊥y軸,…,記點An的橫坐標為(n為正整數(shù)).若,則__,__.
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【題目】如圖,在等腰△ABC中,AB=BC,以AB為直徑的半圓分別交AC、BC于點D、E兩點,BF與⊙O相切于點B,交AC的延長線于點F.
(1)求證:D是AC的中點;
(2)若AB=12,sin∠CAE=,求CF的值.
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【題目】閱讀下面內(nèi)容,并按要求解決問題:
問題:“在平面內(nèi),已知分別有2個點,3個點,4個點,5個點,…,個點,其中任意三個點都不在同一條直線上經(jīng)過每兩點畫一條直線,它們可以分別畫多少條直線?”
探究:為了解決這個問題,希望小組的同學們,設(shè)計了如下表格進行探究:(為了方便研究問題,圖中每條線段表示過線段兩端點的一條直線)
點數(shù) | 2 | 3 | 4 | 5 | … | |
示意圖 | … | |||||
直線條數(shù) | 1 | … |
請解答下列問題:
(1)請幫助希望小組歸納,并直接寫出結(jié)論:當平面內(nèi)有個點時,直線條數(shù)為______;
(2)若某同學按照本題中的方法,共畫了28條直線,求該平面內(nèi)有多少個已知點?
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