Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD為直徑作圓O，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交圓O于點(diǎn)E

（1）證明點(diǎn)C在圓O上；
（2）求tan∠CDE的值；
（3）求圓心O到弦ED的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，

連結(jié)CO．

∵AB=6，BC=8，∠B=90°，

∴AC=10．

又∵CD=24，AD=26，102+242=262，

∴△ACD是直角三角形，∠C=90°．

∵AD為⊙O的直徑，

∴AO=OD，OC為Rt△ACD斜邊上的中線，

∴OC= AD=r，

∴點(diǎn)C在圓O上；

（2）解：如圖2，

延長(zhǎng)BC、DE交于點(diǎn)F，∠BFD=90°．

∵∠BFD=90°，

∴∠CDE+∠FCD=90°，

又∵∠ACD=90°，

∴∠ACB+∠FCD=90°，

∴∠CDE=∠ACB．

在Rt△ABC中，tan∠ACB= = ，

∴tan∠CDE=tan∠ACB= ；

（3）解：如圖3，

連結(jié)AE，作OG⊥ED于點(diǎn)G，則OG∥AE，且OG= AE．

易證△ABC∽△CFD，

∴ = ，即 = ，

∴CF= ，

∴BF=BC+CF=8+ = ．

∵∠B=∠F=∠AED=90°，

∴四邊形ABFE是矩形，

∴AE=BF= ，

∴OG= AE= ，

即圓心O到弦ED的距離為 ．

【解析】本題是圓的綜合題，考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．準(zhǔn)確作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）如圖1，連結(jié)CO．先由勾股定理求出AC=10，再利用勾股定理的逆定理證明△ACD是直角三角形，∠C=90°，那么OC為Rt△ACD斜邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出OC= AD=r，即點(diǎn)C在圓O上；（2）如圖2，延長(zhǎng)BC、DE交于點(diǎn)F，∠BFD=90°．根據(jù)同角的余角相等得出∠CDE=∠ACB．在Rt△ABC中，利用正切函數(shù)定義求出tan∠ACB= = ，則tan∠CDE=tan∠ACB= ；（3）如圖3，連結(jié)AE，作OG⊥ED于點(diǎn)G，則OG∥AE，且OG= AE．易證△ABC∽△CFD，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出CF= ，那么BF=BC+CF= ．再證明四邊形ABFE是矩形，得出AE=BF= ，所以O(shè)G= AE= ．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，先算括號(hào)里面的，若沒有括號(hào)，在同一級(jí)運(yùn)算中，要從左到右進(jìn)行運(yùn)算即可以解答此題．