【題目】如圖①,已知拋物線C1:y=a(x+1)2﹣4的頂點為C,與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左邊),點B的橫坐標是1.

(1)求點C的坐標及a 的值;
(2)如圖②,拋物線C2與C1關于x軸對稱,將拋物線C2向右平移4個單位,得到拋物線C3 . C3與x軸交于點B、E,點P是直線CE上方拋物線C3上的一個動點,過點P作y軸的平行線,交CE于點F.
①求線段PF長的最大值;
②若PE=EF,求點P的坐標.

【答案】
(1)解:頂點C為(﹣1,﹣4).

∵點B(1,0)在拋物線C1上,∴0=a(1+1)2﹣4,解得,a=1;


(2)解:①∵C2與C1關于x軸對稱,

∴拋物線C2的表達式為y=﹣(x+1)2+4,

拋物線C3由C2平移得到,

∴拋物線C3為y=﹣(x﹣3)2+4=﹣x2+6x﹣5,

∴E(5,0),

設直線CE的解析式為:y=kx+b,

,

∴直線CE的解析式為y= ,

設P(x,﹣x2+6x﹣5),則F(x, ),

∴PF=(﹣x2+6x﹣5)﹣( )=﹣x2+ x﹣ =﹣(x﹣ 2+ ,

∴當x= 時,PF有最大值為 ;

②若PE=EF,∵PF⊥x軸,

∴x軸平分PF,

∴﹣x2+6x﹣5=﹣

解得x1= ,x2=5(舍去)

∴P( , ).


【解析】(1)由拋物線的頂點式得到頂點C的坐標;由點B(1,0)在拋物線上,求出a的值;(2)①由C2與C1關于x軸對稱,得到拋物線C2的表達式,拋物線C3由C2平移得到,得到拋物線C3的解析式,得到E點的坐標,直線CE的解析式,求出PF的最大值;②若PE=EF,∵PF⊥x軸,得到x軸平分PF,求出P點的坐標;此題是綜合題,難度較大,計算和解方程時需認真仔細.

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所以∠FDC=________

因為∠CDA=120°(已知)

所以∠FDC=______°

因為DF//BE(已知)

所以∠FDC=_________.(____________________________________

所以∠BEC = 60°,又因為EC=EB,(已知)

所以△BCE為等邊三角形.(_____________________________

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(1)請補充完成下面的成績統(tǒng)計分析表:

平均分

方差

中位數(shù)

合格率

優(yōu)秀率

甲組

6.9

2.4

91.7%

16.7%

乙組

1.3

83.3%

8.3%


(2)甲組學生說他們的合格率、優(yōu)秀率均高于乙組,所以他們的成績好于乙組.但乙組學生不同意甲組學生的說法,認為他們組的成績要高于甲組.請你給出三條支持乙組學生觀點的理由.

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(1)求證:∠BAC=∠CAD;
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(3)在(2)的條件下,連接BC,求 的值.

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甲:7,9,10,8,5,9;
乙:9,6,8,10,7,8
(1)請補充完整下面的成績統(tǒng)計分析表:

平均分

方差

眾數(shù)

中位數(shù)

甲組

8

9

乙組

8

8


(2)甲組學生說他們的眾數(shù)高于乙組,所以他們的成績好于乙組,但乙組學生不同意甲組學生的說法,認為他們組的成績要好于甲組,請你給出一條支持乙組學生觀點的理由.

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(1)共抽取了  名同學進行調查,同學們的睡眠時間的中位數(shù)是  小時左右,并將條形統(tǒng)計圖補充完整;

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