【題目】在四邊形 ABCD 中,E 為 BC 邊中點(diǎn).
(Ⅰ)已知:如圖,若 AE 平分∠BAD,∠AED=90°,點(diǎn) F 為 AD 上一點(diǎn),AF=AB.求證:(1)△ABE≌AFE;(2)AD=AB+CD
(Ⅱ)已知:如圖,若 AE 平分∠BAD,DE 平分∠ADC,∠AED=120°,點(diǎn) F,G 均為 AD上的點(diǎn),AF=AB,GD=CD.求證:(1)△GEF 為等邊三角形;(2)AD=AB+ BC+CD.
【答案】(Ⅰ)(1)證明見解析;(2)證明見解析;(Ⅱ)(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(Ⅰ)(1)運(yùn)用SAS證明△ABE≌AFE即可;
(2)由(1)得出∠AEB=∠AEF,BE=EF,再證明△DEF≌△DEC(SAS),得出DF=DC,即可得出結(jié)論;
(Ⅱ)(1)同(Ⅰ)(1)得△ABE≌△AFE(SAS),△DGE≌△DCE(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出BE=FE,∠AEB=∠AEF,CE=GE,∠CED=∠GED,進(jìn)而證明△EFG是等邊三角形;
(2)由△EFG是等邊三角形得出GF=EE=BE=BC,即可得出結(jié)論.
(Ⅰ)(1)∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠FAE,
在△ABE和△AFE中,
,
∴△ABE≌△AFE(SAS),
(2)∵△ABE≌△AFE,
∴∠AEB=∠AEF,BE=EF,
∵E為BC的中點(diǎn),
∴BE=CE,
∴FE=CE,
∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°,
∴∠AEB+∠DEC=90°,
∴∠DEF=∠DEC,
在△DEF和△DEC中,
,
∴△DEF≌△DEC(SAS),
∴DF=DC,
∵AD=AF+DF,
∴AD=AB+CD;
(Ⅱ)(1)∵E為BC的中點(diǎn),
∴BE=CE=BC,
同(Ⅰ)(1)得:△ABE≌△AFE(SAS),
△DEG≌△DEC(SAS),
∴BE=FE,∠AEB=∠AEF,CE=GE,∠CED=∠GED,
∵BE=CE,
∴FE=GE,
∵∠AED=120°,∠AEB+∠CED=180°-120°=60°,
∴∠AEF+∠GED=60°,
∴∠GEF=60°,
∴△EFG是等邊三角形,
(2)∵△EFG是等邊三角形,
∴GF=EF=BE=BC,
∵AD=AF+FG+GD,
∴AD=AB+CD+BC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,甲分為三等分?jǐn)?shù)字轉(zhuǎn)盤,乙為四等分?jǐn)?shù)字轉(zhuǎn)盤,自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤.
(1)轉(zhuǎn)動(dòng)甲轉(zhuǎn)盤,指針指向的數(shù)字小于3的概率是 ;
(2)同時(shí)自由轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,用列舉的方法求兩個(gè)轉(zhuǎn)盤指針指向的數(shù)字均為奇數(shù)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(1,0),將線段OP0按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°,再將其長度伸長為OP0的2倍,得到線段OP1;又將線段OP1按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°,長度伸長為OP1的2倍,得到線段OP2;如此下去,得到線段OP3,OP4,…,OPn(n為正整數(shù)),則點(diǎn)P8的坐標(biāo)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下說法正確的有( 。
①正八邊形的每個(gè)內(nèi)角都是135°;
②反比例函數(shù)y=﹣,當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而增大;
③長度等于半徑的弦所對的圓周角為30°;
④分式方程的解為;
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣4,0),點(diǎn)P在AB上,連結(jié)CP與y軸交于點(diǎn)D,連結(jié)BD.過P,D,B三點(diǎn)作⊙Q與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E,延長DQ交⊙Q于點(diǎn)F,連結(jié)EF,BF.
(1)求直線AB的函數(shù)解析式;
(2)求證:∠BDE=∠ADP;
(3)設(shè)DE=x,DF=y.請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB=10,以AB為直徑作半圓O,半徑OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OC,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為C,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)停止.連接BC并延長到點(diǎn)D,使得CD=BC,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,連接AD,AC.
(1)AD= ;
(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí),判斷△ABD的形狀,并說明理由;
(3)如圖2,當(dāng)OE=1時(shí),求BC的長;
(4)如圖3,若點(diǎn)P是線段AD上一點(diǎn),連接PC,當(dāng)PC與半圓O相切時(shí),直接寫出直線PC與AD的位置關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題:如果α,β都為銳角,且tanα=,tanβ=,求α+β的度數(shù).
解決:如圖①,把α,β放在正方形網(wǎng)格中,使得∠ABD=α,∠CBE=β,連結(jié)AC,易證△ABC是等腰直角三角形,因此可求得α+β=∠ABC= .
拓展:參考以上方法,解決下列問題:如果α,β都為銳角,當(dāng)tanα=4,tanβ=時(shí),
(1)在圖②的正方形網(wǎng)格中,利用已作出的銳角α,畫出∠MON=α﹣β;
(2)求出α﹣β= °.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的邊長為4,把它內(nèi)部及邊上的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn),點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)(m為整數(shù)),當(dāng)點(diǎn)P在正方形OABC內(nèi)部或邊上時(shí),拋物線下方(包括邊界)的整點(diǎn)最少有( 。
A.3個(gè)B.5個(gè)C.10個(gè)D.15個(gè)
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