【題目】如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,點A的坐標為(0,4),點B的坐標為(4,0),點C的坐標為(﹣4,0),點P在AB上,連結(jié)CP與y軸交于點D,連結(jié)BD.過P,D,B三點作⊙Q與y軸的另一個交點為E,延長DQ交⊙Q于點F,連結(jié)EF,BF.
(1)求直線AB的函數(shù)解析式;
(2)求證:∠BDE=∠ADP;
(3)設(shè)DE=x,DF=y.請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
【答案】(1)y=﹣x+4;(2)詳見解析;(3)y=x
【解析】
(1)設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+4,把點B的坐標(4,0)代入即可;
(2)先證出△BDO≌△COD,得出∠BDO=∠CDO,再根據(jù)∠CDO=∠ADP,即可得出∠BDE=∠ADP;
(3)先連結(jié)PE,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠ADP=∠DEP+∠DPE,∠BDE=∠ABD+∠OAB,由圓周角定理得∠DEP=∠ABD,由(2)知∠ADP=∠BDE,得出∠DPE=∠OAB,再證出∠DFE=∠DPE=45°,由直徑所對的圓周角是直角得∠DEF=90°,得出△DEF是等腰直角三角形,從而求出DF=DE,即y=x.
解:(1)設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+4,
代入點B(4,0)得:4k+4=0,
解得:k=﹣1,
則直線AB的函數(shù)解析式為y=﹣x+4;
(2)由已知得:
OB=OC,∠BOD=∠COD=90°,
又∵OD=OD,
∴△BOD≌△COD,
∴∠BDO=∠CDO,
∵∠CDO=∠ADP,
∴∠BDE=∠ADP;
(3)連結(jié)PE,
∵∠ADP是△DPE的一個外角,
∴∠ADP=∠DEP+∠DPE,
∵∠BDE是△ABD的一個外角,
∴∠BDE=∠ABD+∠OAB,
∵∠ADP=∠BDE,∠DEP=∠ABD,
∴∠DPE=∠OAB,
∵OA=OB=4,∠AOB=90°,
∴∠OAB=45°,
∴∠DPE=45°,
∴∠DFE=∠DPE=45°,
∵DF是⊙Q的直徑,
∴∠DEF=90°,
∴△DEF是等腰直角三角形,
∴DF=DE,即y=x;
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】 如圖,有兩個可以自由轉(zhuǎn)動的均勻轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)盤A被平均分成3等份,分別標上三個數(shù)字;轉(zhuǎn)盤B被平均分成4等份,分別標上四個數(shù)字.有人為甲、乙兩人設(shè)計了一個游戲規(guī)則;自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A與B,轉(zhuǎn)盤停止后,指針各指向一個數(shù)字,將指針所指的兩個數(shù)字相加,如果和是6,那么甲獲勝,否則為乙獲勝.你認為這樣的游戲規(guī)則是否公平?如果公平,請說明理由;如果不公平,怎樣修改規(guī)則才能使游戲?qū)﹄p方公平?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,拋物線y=﹣x2+x+m﹣1交x軸于A、B兩點,交y軸于點C,若A點坐標為(x1,0),B點坐標為(x2,0)(x1≠x2).
(1)求m的取值范圍;
(2)如圖1,若x12+x22=17,求拋物線的解析式;
(3)在(2)的條件下,請解答下列兩個問題:
①如圖1,請連接AC,求證:△ACB為直角三角形.
②如圖2,若D(1,n)在拋物線上,過點A的直線y=﹣x﹣1交(2)中的拋物線于點E,那么在x軸上點B的左側(cè)是否存在點P,使以P、B、D為頂點的三角形與△ABE相似?若存在,求出P點坐標;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】閱讀以下材料:有這樣一個問題:關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)有兩個不相等的且非零的實數(shù)根.探究a,b,c滿足的條件.
小明根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗,認為可以從二次函數(shù)的角度看一元二次方程,下面是小明的探究過程:
①設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)對應的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c(a>0);
②借助二次函數(shù)圖象,可以得到相應的一元二次中a,b,c滿足的條件,列表如下:
方程根的幾何意義:
(1)參考小明的做法,把上述表格補充完整;
(2)若一元二次方程mx2﹣(2m+3)x﹣4m=0有一個負實根,一個正實根,且負實根大于﹣1,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,∠ABC=45°,AD=CD,CE平分∠ACB交AB于點E,在BC上截取BF=AE,連接AF交CE于點G,連接DG交AC于點H,過點A作AN⊥BC,垂足為N,AN交CE于點M.則下列結(jié)論;①CM=AF;②CE⊥AF;③△ABF∽△DAH;④GD平分∠AGC,其中正確的序號是__________.
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【題目】在四邊形 ABCD 中,E 為 BC 邊中點.
(Ⅰ)已知:如圖,若 AE 平分∠BAD,∠AED=90°,點 F 為 AD 上一點,AF=AB.求證:(1)△ABE≌AFE;(2)AD=AB+CD
(Ⅱ)已知:如圖,若 AE 平分∠BAD,DE 平分∠ADC,∠AED=120°,點 F,G 均為 AD上的點,AF=AB,GD=CD.求證:(1)△GEF 為等邊三角形;(2)AD=AB+ BC+CD.
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)如圖所示,下列結(jié)論中:
①4ac-b2<0;②3b+2c<0;③4a+c<2b;④m(am+b)+b<a(m≠-1).
其中正確的結(jié)論有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
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【題目】在平面直角坐標系中,如果某點的橫坐標與縱坐標的和為10,則稱此點為“合適點”例如,點(1,9),(﹣2019,2029)…都是“合適點”.
(1)求函數(shù)y=2x+1的圖象上的“合適點”的坐標;
(2)求二次函數(shù)y=x2﹣5x﹣2的圖象上的兩個“合適點”A,B之間線段的長;
(3)若二次函數(shù)y=ax2+4x+c的圖象上有且只有一個合適點”,其坐標為(4,6),求二次函數(shù)y=ax2+4x+c的表達式;
(4)我們將拋物線y=2(x﹣n)2﹣3在x軸下方的圖象記為G1,在x軸及x軸上方圖象記為G2,現(xiàn)將G1沿x軸向上翻折得到G3,圖象G2和圖象G3兩部分組成的記為G,當圖象G上恰有兩個“合適點”時,直接寫出n的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于C,D兩點,交反比例函數(shù)圖象于A(,4),B(3,m)兩點.
(1)求直線CD的表達式;
(2)點E是線段OD上一點,若,求E點的坐標;
(3)請你根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集.
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