Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，且AF＝DC，連接CF．

（1）求證：D是BC的中點；

（2）若∠BAC＝90°，求證：四邊形ADCF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）首先利用平行線的性質得出△AEF≌△DEB，進而得出D為BC的中點；

（2）先證明四邊形ADCF是平行四邊形，再由直角三角形斜邊上的中線性質得出AD＝DC，即可得出結論．

（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

∵E是AD的中點，

∴AE＝DE，

在△AEF和△DEB中，

，

∴△AEF≌△DEB（AAS），

∴AF＝DB，

∵AF＝DC，

∴DB＝DC，即D是BC的中點；

（2）證明：∵AF∥DC，AF＝DC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵∠BAC＝90°，DB＝DC，

∴AD＝BC＝DC，

∴四邊形ADCF是菱形．