【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點(A在B的左側(cè)),與y軸交于點C(0,﹣3),對稱軸為x=1,點D與C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱.
(1)求拋物線的解析式及點D的坐標(biāo);
(2)點P是拋物線上的一點,當(dāng)△ABP的面積是8時,求出點P的坐標(biāo);
(3)點M為直線AD下方拋物線上一動點,設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m,當(dāng)m為何值時,△ADM的面積最大?并求出這個最大值.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3,D(2,﹣3);(2)P(1﹣2,4)或(1+2,4)或(1,﹣4);(3)m=時,△AMD的最大值為
【解析】
(1)由拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為x=1,求出b的值,再由點C的坐標(biāo)求出c的值即可;
(2)先求出點A,點B的坐標(biāo),設(shè)點P的坐標(biāo)為(s,t),因為△ABP的面積是8,根據(jù)三角形的面積公式可求出t的值,再將t的值代入拋物線解析式即可;
(3)求出直線AD的解析式,過點M作MN∥y軸,交AD于點N,則點M的坐標(biāo)為(m,m2﹣2m﹣3),點N的坐標(biāo)為(m,﹣m﹣1),用含m的代數(shù)式表示出△AMN的面積,配方后由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
(1)∵拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為x=1,
∴1,
∴b﹣=2.
∵拋物線與y軸交于點C(0,﹣3),
∴c=﹣3,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3,
∴拋物線的對稱軸為直線x=1.
∵點D與C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,
∴點D的坐標(biāo)為(2,﹣3);
(2)當(dāng)y=0時,x2﹣2x﹣3=0,
解得:x1=﹣1,x2=3,
∴點A的坐標(biāo)為(﹣1,0),點B的坐標(biāo)為(3,0),
∴AB=3﹣(﹣1)=4,
設(shè)點P的坐標(biāo)為(s,t).
∵△ABP的面積是8,
∴AB|yP|=8,
即4|t|=8,
∴t=±4,
①當(dāng)t=4時,s2﹣2s﹣3=4,
解得:,s1=,s2=,
∴點P的坐標(biāo)為(,4)或(,4);
②當(dāng)t=﹣4時,s2﹣2s﹣3=﹣4,
解得:,s1=s
∴點P的坐標(biāo)為(1,﹣4);
綜上所述:當(dāng)△ABP的面積是8時,點P的坐標(biāo)為(,4)或(,4)或(1,﹣4);
(3)設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b1,
將A(﹣1,0),D(2,﹣3)代入y=kx+b1,
得:,
解得:,
∴直線AD的解析式為y=﹣x﹣1,
過點M作MN∥y軸,交AD于點N.
∵點M的橫坐標(biāo)是m(﹣1<m<2),
∴點M的坐標(biāo)為(m,m2﹣2m﹣3),點N的坐標(biāo)為(m,﹣m﹣1),
∴MN=﹣m﹣1﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+m+2,
∴S△AMD=S△AMN+S△DMN
MN(m+1)MN(2﹣m)
MN
(﹣m2+m+2)
(m)2,
∵0,﹣12,
∴當(dāng)m時,S△AMD,
∴當(dāng)m時,△AMD的最大值為.
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【題目】閱讀下面的學(xué)習(xí)材料:
我們知道,一般情況下式子與“”是不相等的(m,n均為整數(shù)),但當(dāng)m,n取某些特定整數(shù)時,可以使這兩個式子相等,我們把使“=”成立的數(shù)對“m,n”叫做“好數(shù)對”,記作[m,n],例如,當(dāng)m=n=0時,有=成立,則數(shù)對“0,0”就是一對“好數(shù)對”,記作[0,0]
解答下列問題:
(1)通過計算,判斷數(shù)對“3,4”是否是“好數(shù)對”;
(2)求“好數(shù)對”[x,﹣32]中x的值;
(3)請再寫出一對上述未出現(xiàn)的“好數(shù)對”[ , ];
(4)對于“好數(shù)對[a,b],如果a=9k(k為整數(shù)),則b= (用含k的代數(shù)式表示).
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,點E,F分別是OB,OD的中點.
(1)試說明四邊形AECF是平行四邊形.
(2)若AC=8,AB=6.若AC⊥AB,求線段BD的長.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過點A(﹣2,0),B(4,0)兩點,與y軸交于點C,點D是拋物線上一個動點,設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m(1<m<4)連接BC,DB,DC.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)△BCD的面積是否存在最大值,若存在,求此時點D的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)在(2)的條件下,若點M是x軸上一動點,點N是拋物線上一動點,試判斷是否存在這樣的點M,使得以點B,D,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在,請直接寫出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,反比例函數(shù)y=的圖象上有一動點A,連接AO并延長交圖象的另一支于點B,在第二象限內(nèi)有一點C,滿足AC=BC,當(dāng)點A運動時,點C始終在函數(shù)y=的圖象上運動,tan∠CAB=2,則k=_____.
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【題目】如圖,一轉(zhuǎn)盤被等分成三個扇形,上面分別標(biāo)有-1,1,2中的一個數(shù),指針固定,轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤后任其自由停止,這時某個扇形會恰好停在指針?biāo)傅奈恢,并相?yīng)得到這個扇形上的數(shù)( 若指針恰好指在等分線上,當(dāng)做指向右邊的扇形).若轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤,將所得的數(shù)作為k,則使反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限的概率是多少?若小靜和小宇進(jìn)行游戲,每人各轉(zhuǎn)動兩次轉(zhuǎn)盤,若兩次所得數(shù)的積為正數(shù),則小靜贏,若兩次所得數(shù)的積為負(fù)數(shù),則小宇贏.這是個公平的游戲嗎?請說明理由.(借助畫樹狀圖或列表的方法)
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【題目】三輛汽車經(jīng)過某收費站下高速時,在2個收費通道A,B中,可隨機選擇其中的一個通過.
(1)三輛汽車經(jīng)過此收費站時,都選擇A通道通過的概率是 ;
(2)求三輛汽車經(jīng)過此收費站時,至少有兩輛汽車選擇B通道通過的概率.
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【題目】(1)如圖1,在△ABC中,AB>AC,點D,E分別在邊AB,AC上,且DE∥BC,若AD=2,AE=,則的值是 ;
(2)如圖2,在(1)的條件下,將△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度,連接CE和BD,的值變化嗎?若變化,請說明理由;若不變化,請求出不變的值;
(3)如圖3,在四邊形ABCD中,AC⊥BC于點C,∠BAC=∠ADC=θ,且tanθ=,當(dāng)CD=6,AD=3時,請直接寫出線段BD的長度.
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【題目】中華文明,源遠(yuǎn)流長;中華漢字,寓意深廣.為了傳承中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,我市某中學(xué)舉行“漢字聽寫”比賽,賽后整理參賽學(xué)生的成績,將學(xué)生的成績分為A,B,C,D四個等級,并將結(jié)果繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖,但均不完整.
請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題:
(1)參加比賽的學(xué)生共有____名;
(2)在扇形統(tǒng)計圖中,m的值為____,表示“D等級”的扇形的圓心角為____度;
(3)組委會決定從本次比賽獲得A等級的學(xué)生中,選出2名去參加全市中學(xué)生“漢字聽寫”大賽.已知A等級學(xué)生中男生有1名,請用列表法或畫樹狀圖法求出所選2名學(xué)生恰好是一名男生和一名女生的概率.
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