【題目】如圖1,已知拋物線y=ax2﹣2ax﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn),其頂點(diǎn)為C,過點(diǎn)A的直線交拋物線于另一點(diǎn)D(2,﹣3),且tan∠BAD=1.
(1)求拋物線的解析式;
(2)連結(jié)CD,求證:AD⊥CD;
(3)如圖2,P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E,求線段PE長度的最大值;
(4)點(diǎn)Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)F,使以A,D,F(xiàn),Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)證明見解析;(3);(4)存在;(﹣3,0)或(4+,0)或(4﹣,0)或(1,0).
【解析】
(1)過點(diǎn)D作DM⊥x軸于M,根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求出DM、OM,再根據(jù)∠BAD的正切值求出AM,然后求出AO,從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo),再代入拋物線表達(dá)式求出a,從而得解;
(2)根據(jù)拋物線解析式求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo),再利用勾股定理列式求出AC、CD、AD,然后利用勾股定理逆定理證明即可;
(3)利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式,再表示出PE,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解即可;
(4)設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x,0),然后分①AD是平行四邊形的邊且FQ在x軸下方時(shí),表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo),然后代入拋物線解析式求解即可;FQ在x軸上方時(shí),表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo),再代入拋物線解析式求解;②AD是平行四邊形對角線時(shí),根據(jù)平行四邊形對邊平行可得DQ∥x軸,然后根據(jù)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),再根據(jù)AF=DQ求出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可.
(1)如圖,過點(diǎn)D作DM⊥x軸于M,
∵D(2,﹣3),
∴DM=3,OM=2,
∵tan∠BAD=1,
∴AM=DM=3,
∴AO=AM﹣OM=3﹣2=1,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線得,a+2a﹣3=0,
解得a=1,
所以,y=x2﹣2x﹣3;
(2)證明:∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴頂點(diǎn)C(1,﹣4),
由勾股定理得,AD2=32+32=18,
CD2=(2﹣1)2+(﹣3+4)2=2,
AC2=(1+1)2+42=20,
∵AD2+CD2=AC2=20,
∴△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°,
∴AD⊥CD;
(3)設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b(k≠0),
將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入得,,
解得,
所以,直線AD的解析式為y=﹣x﹣1,
所以,PE=(﹣x﹣1)﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+x+2=﹣(x﹣)2+,
∵P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn),
∴﹣1≤x≤2,
∴當(dāng)x=時(shí),線段PE長度的最大值是;
(4)設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x,0),
①AD是平行四邊形的邊且FQ在x軸下方時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x+3,﹣3),
代入拋物線得,(x+3)2﹣2(x+3)﹣3=﹣3,
解得x1=﹣3,x2=﹣1(舍去),
所以,F(﹣3,0);
FQ在x軸上方時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x﹣3,3),
代入拋物線得,(x﹣3)2﹣2(x﹣3)﹣3=3,
整理得,x2﹣8x+9=0,
解得,x=4±,
所以,F(4+,0)或(4﹣,0);
②AD是平行四邊形對角線時(shí),∵A、F都在x軸上,
∴DQ∥x軸,
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣3,
∴x2﹣2x﹣3=﹣3,
解得x1=2,x2=0,
∴DQ=2,
∴AF=2,
∵AO=1,
∴OF=2﹣1=1,
∴F(1,0),
綜上所述,x軸上存在點(diǎn)F(﹣3,0)或(4+,0)或(4﹣,0)或(1,0),使以A,D,F(xiàn),Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A1,A2,A3…都在x軸上,點(diǎn)B1,B2,B3…都在直線y=x上,OA1=1,且△B1A1A2,△B2A2A3,△B3A3A4,…△Bn A n A n+1…分別是以A1,A2,A3,…An…為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則△B10A10A11的面積是________.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A、B、C三人玩籃球傳球游戲,游戲規(guī)則是:第一次傳球由A將球隨機(jī)地傳給B,C兩人中的某一人,以后的每一次傳球都是由上次的傳球者隨機(jī)地傳給其他兩人中的某一人.
(1)求兩次傳球后,球恰在B手中的概率;
(2)求三次傳球后,球恰在A手中的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進(jìn)行測量大樹CD高度的綜合實(shí)踐活動(dòng),如圖,在點(diǎn)A處測得直立于地面的大樹頂端C的仰角為36°,然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡頂B處,然后再沿水平方向行走6米至大樹腳底點(diǎn)D處,斜面AB的坡度(或坡比)i=1:2.4,求大樹CD的高度?(參考數(shù)據(jù):sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,△ABC是等邊三角形,AE=CD,BQ⊥AD于Q,BE交AD于點(diǎn)P,下列說法:①∠APE=∠C,②AQ=BQ,③BP=2PQ,④AE+BD=AB,其中正確的個(gè)數(shù)有( )個(gè)。
A. 4B. 3C. 2D. 1
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點(diǎn)E.
(1)求∠CBE的度數(shù);
(2)過點(diǎn)D作DF∥BE,交AC的延長線于點(diǎn)F,求∠F的度數(shù).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某日在我國某島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B,船在A船的正東方向,且兩船保持20海里的距離,某一時(shí)刻兩海監(jiān)船同時(shí)測得在A的東北方向,的北偏東15°方向有一我國漁政執(zhí)法船C,求此時(shí)船C與船B的距離是多少.(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)
參考數(shù)據(jù): ≈1.414, ≈1.732, ≈2.236.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù) y=kx+b 的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,-5),且與正比例函數(shù)于點(diǎn)(2,a),求:
(1)a 的值;
(2)k,b 的值;
(3)這兩個(gè)函數(shù)圖象與 x 軸所圍成的三角形的面積.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A沿邊AB以1cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿邊BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng),當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)到終點(diǎn)時(shí),則另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)△DPQ的面積比△PBQ的面積大19.5cm2時(shí),求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com