【題目】問(wèn)題探究
將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過(guò)程叫做幾何變換.旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換的一種基本模型.經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn),往往能使圖形的幾何性質(zhì)明白顯現(xiàn).題設(shè)和結(jié)論中的元素由分散變?yōu)榧,相互之間的關(guān)系清楚明了,從而將求解問(wèn)題靈活轉(zhuǎn)化.
問(wèn)題提出:如圖1,是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,為內(nèi)部一點(diǎn),連接,求的最小值.
方法通過(guò)轉(zhuǎn)化,把由三角形內(nèi)一點(diǎn)發(fā)出的三條線段(星型線)轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的折線(化星為折),再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求最小值(化折為直).
問(wèn)題解決:如圖2,將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至,連接、,記與交于點(diǎn),易知,.由,,可知為正三角形,有.
故.因此,當(dāng)共線時(shí),有最小值是.
學(xué)以致用:(1)如圖3,在中,,,為內(nèi)部一點(diǎn),連接、,則的最小值是__________.
(2)如圖4,在中,,,為內(nèi)部一點(diǎn),連接、,求的最小值.
(3)如圖5,是邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)一點(diǎn),為邊上一點(diǎn),連接、,求的最小值.
【答案】(1)5;(2);(3).
【解析】
(1)將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,易知是等邊三角形,,轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的折線(化星為折),再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求最小值(化折為直).
(2)將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,易知是等腰直角三角形,,作交的延長(zhǎng)線于.轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的折線(化星為折),再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求最小值(化折為直).
(3)如圖5中,將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,則易知是等邊三角形,轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的折線(化星為折),再利用“垂線段最短”求最小值.
解:(1)如圖3中,
將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,
∴≌,∠CAE=PAF=60°,
∴AE=AC=3,AF=AP,
∴是等邊三角形,
∵∠BAC=30°,
∴,
在中,,
,
,
的最小值為5.
故答案為5.
(2)如圖4中,
將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,
∴AF=AP,∠FAP=90°,
∴是等腰直角三角形,
∴FP=,
∵∠BAC=45°,
∴,,
作交的延長(zhǎng)線于.
在中,
,,
,
在中,
,
,
的最小值為.
(3)如圖5中,將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,則易知是等邊三角形,
作于,交于.
,
易知,,
,
,
的最小值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】觀察下面三行數(shù)
3,9,27,81…①
1,3,9,27…②
2,10,26,82…③
(1)第①行數(shù)按什么規(guī)律排列?
(2)第②③行數(shù)與第①行數(shù)分別有什么關(guān)系?
(3)設(shè)x,y,z分別為第①②③ 行的2019個(gè)數(shù),求的值
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一輛汽車在某次行駛過(guò)程中,油箱中的剩余油量y(升)與行駛路程x(千米)之間是一次函數(shù)關(guān)系,其部分圖象如圖所示.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(不需要寫定義域)
(2)已知當(dāng)油箱中的剩余油量為8升時(shí),該汽車會(huì)開始提示加油,在此次行駛過(guò)程中,行駛了500千米時(shí),司機(jī)發(fā)現(xiàn)離前方最近的加油站有30千米的路程,在開往該加油站的途中,汽車開始提示加油,這時(shí)離加油站的路程是多少千米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,AB⊥BC,AD⊥CD,P是對(duì)角線AC上一點(diǎn),
求證:PB=PD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年618年中大促活動(dòng)中,各大電商分期進(jìn)行降價(jià)促銷.某寶店鋪熱銷網(wǎng)紅A款服裝進(jìn)行價(jià)格促銷,促銷價(jià)比平時(shí)售價(jià)每件降90元,如果賣出相同數(shù)量的A款服裝,平時(shí)銷售額為5萬(wàn)元,促銷后銷售額只有4萬(wàn)元.
(1)該店鋪A款服裝平時(shí)每件售價(jià)為多少元?
(2)該店鋪在6.1—6.2第一輪促銷中,A款服裝的銷售情況非;鸨碳覜Q定為第二輪6.16—6.18大促再進(jìn)一批貨,經(jīng)銷A款的同時(shí)再購(gòu)進(jìn)同品牌的B款服裝,己知A款服裝每件進(jìn)價(jià)為300元,B款服裝每件進(jìn)價(jià)為200元,店鋪預(yù)計(jì)用不少于7.2萬(wàn)元且不多于7.3萬(wàn)元的資金購(gòu)進(jìn)這兩款服裝共300件.請(qǐng)你算一算,商家共有幾種進(jìn)貨方案?
(3)在6.16—6.18促銷活動(dòng)中,A款仍以平日價(jià)降90元促銷,B款服裝每件售價(jià)為280元,為打開B款服裝的銷路,店鋪決定每售出一件B款服裝,返還顧客現(xiàn)金元,要使(2)中所購(gòu)進(jìn)服裝全部售完后所有方案獲利相同,的值應(yīng)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,2)和(1,4).
(1)畫出此函數(shù)的圖象;
(2)求此一次函數(shù)的表達(dá)式;
(3)若此函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,求線段AB的長(zhǎng).
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【題目】如圖,正方形OABC的邊OA,OC在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣4,4).點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng);點(diǎn)Q從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā),以相同的速度沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng),規(guī)定點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí),點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng).連接BP,過(guò)P點(diǎn)作BP的垂線,與過(guò)點(diǎn)Q平行于y軸的直線l相交于點(diǎn)D.BD與y軸交于點(diǎn)E,連接PE.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s).
(1)∠PBD的度數(shù)為 ,點(diǎn)D的坐標(biāo)為 (用t表示);
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△PBE為等腰三角形?
(3)探索△POE周長(zhǎng)是否隨時(shí)間t的變化而變化?若變化,說(shuō)明理由;若不變,試求這個(gè)定值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為( 2,0 ),(4,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m, m)(m為非負(fù)數(shù)),則CA+CB的最小值是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解九年級(jí)課業(yè)負(fù)擔(dān)情況,某校隨機(jī)抽取80名九年級(jí)學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,在整理并匯總這80張有效問(wèn)卷的數(shù)據(jù)時(shí)發(fā)現(xiàn),每天完成課外作業(yè)時(shí)間,最長(zhǎng)不超過(guò)180分鐘,最短不少于60分鐘,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖.
(1)被調(diào)查的80名學(xué)生每天完成課外作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)在_____組(填時(shí)間范圍).
(2)該校九年級(jí)共有800名學(xué)生,估計(jì)大約有_____名學(xué)生每天完成課外作業(yè)時(shí)間在120分鐘以上(包括120分鐘)
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