Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），點(diǎn)A,C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)P在BC邊上，直線ι1:y=2x+3，直線ι2：y=2x-3

（1）求直線l1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)T，直線ι2與AB的交點(diǎn)坐標(biāo)Q和與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)G；

（2）判定四邊形ATGQ的形狀并求它的面積；

（3）已知點(diǎn)M在第一象限，且是直線l2上的點(diǎn)，若ΔAPM是等腰直角三角形，求點(diǎn)M坐標(biāo)

Answer 1

【答案】（1）T的坐標(biāo)為（，0），Q的坐標(biāo)為（3，3），G的坐標(biāo)為（，0）；（2）四邊形ATGQ是平行四邊形，面積為9；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或.

【解析】

（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可求直線l1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)T，直線l2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)G，根據(jù)直線AB上點(diǎn)的縱坐標(biāo)特征可求直線l2與AB的交點(diǎn)坐標(biāo)Q；

（2）從四邊形ATGQ的兩組對(duì)邊的位置關(guān)系和一組鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行判斷即可；

（3）作圖分三種情況討論，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)證明三角形全等得到對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的關(guān)系，結(jié)合題目數(shù)據(jù)列出等式，求解x的值即可.

解：（1）直線l1：當(dāng)y=0時(shí)，2x+3=0，解得，則直線l1與x軸的交點(diǎn)T的坐標(biāo)為（，0）；直線l2：當(dāng)y=3時(shí)，2x－3=3，解得x=3，則直線l2與AB的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，3），當(dāng)y=0時(shí)，2x－3=0，解得，則直線l2與x軸的交點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，0）.

（2）如圖1，因?yàn)橹本�l1與直線l2的k相同，都是2，所以AT∥QG，因?yàn)?/span>T（，0），G（，0），所以TG=3≠AT，又因?yàn)?/span>AB∥OC，所以四邊形ATGQ是平行四邊形，且平行四邊形ATGQ 的面積=TG×OA=3×3=9.

（3）①若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)M在第一象限，AM=AP，如圖2，過點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N，則Rt△AMN≌Rt△PAF，∴MN=AF，AN=PF=4，∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為7，當(dāng)y=7時(shí)，2x－3=7，解得x=5，即MN=5，∴AF=5，于是P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，－2），∵點(diǎn)P在BC邊上，∴此種情形點(diǎn)M不存在；

②若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)M在第一象限，如圖3，過點(diǎn)M作MN⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

則Rt△ABP≌Rt△PNM，

∴AB=PN=4，MN=BP，

設(shè)M（x，2x－3），則MN=x－4，∴ ，解得， ；

③若點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M在第一象限，如圖4，設(shè)，

過點(diǎn)作交OA于點(diǎn)G1，交BC于點(diǎn)，

則Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1，

∴，

∴，

解得x=2，∴ ；

設(shè)，同理可得，解得，∴ .

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或.