【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A在x軸的正半軸上,點B的坐標(biāo)為(0,4),BC平分∠ABO交x軸于點C(2,0).點P是線段AB上一個動點(點P不與點A,B重合),過點P作AB的垂線分別與x軸交于點D,與y軸交于點E,DF平分∠PDO交y軸于點F.設(shè)點D的橫坐標(biāo)為t.
(1)如圖1,當(dāng)0<t<2時,求證:DF∥CB;
(2)當(dāng)t<0時,在圖2中補全圖形,判斷直線DF與CB的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)若點M的坐標(biāo)為(4,-1),在點P運動的過程中,當(dāng)△MCE的面積等于△BCO面積的倍時,直接寫出此時點E的坐標(biāo).
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)詳見解析.
【解析】
(1)求出∠PBO+∠PDO=180°,根據(jù)角平分線定義得出∠CBO=∠PBO,∠ODF=∠PDO,求出∠CBO+∠ODF=90°,求出∠CBO=∠DFO,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可;
(2)求出∠ABO=∠PDA,根據(jù)角平分線定義得出∠CBO=∠ABO,∠CDQ=∠PDO,求出∠CBO=∠CDQ,推出∠CDQ+∠DCQ=90°,求出∠CQD=90°,根據(jù)垂直定義得出即可;
(3)分為兩種情況:根據(jù)三角形面積公式求出即可.
(1)證明:如圖1.
∵在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A在x軸的正半軸上,點B的坐標(biāo)為(0,4),
∴∠AOB=90°.
∵DP⊥AB于點P,
∴∠DPB=90°,
∵在四邊形DPBO中,∠DPB+∠PBO+∠BOD+∠PDO=360°,
∴∠PBO+∠PDO=180°,
∵BC平分∠ABO,DF平分∠PDO,
∴∠CBO=∠PBO,∠ODF=∠PDO,
∴∠CBO+∠ODF=(∠PBO+∠PDO)=90°,
∵在△FDO中,∠OFD+∠ODF=90°,
∴∠CBO=∠DFO,
∴DF∥CB.
(2)直線DF與CB的位置關(guān)系是:DF⊥CB,
證明:延長DF交CB于點Q,如圖2,
∵在△ABO中,∠AOB=90°,
∴∠BAO+∠ABO=90°,
∵在△APD中,∠APD=90°,
∴∠PAD+∠PDA=90°,
∴∠ABO=∠PDA,
∵BC平分∠ABO,DF平分∠PDO,
∴∠CBO=∠ABO,∠CDQ=∠PDO,
∴∠CBO=∠CDQ,∵在△CBO中,∠CBO+∠BCO=90°,
∴∠CDQ+∠DCQ=90°,
∴在△QCD中,∠CQD=90°,
∴DF⊥CB.
(3)解:過M作MN⊥y軸于N,
∵M(4,-1),
∴MN=4,ON=1,
當(dāng)E在y軸的正半軸上時,如圖3,
∵△MCE的面積等于△BCO面積的倍時,
∴×2×OE+×(2+4)×1-×4×(1+OE)=××2×4,
解得:OE=,
當(dāng)E在y軸的負半軸上時,如圖4,
×(2+4)×1+×(OE-1)×4-×2×OE=××2×4,
解得:OE=,
即E的坐標(biāo)是(0,)或(0,-).
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【題目】如圖,矩形OABC的頂點B(7,6),頂點A、C在坐標(biāo)軸上,矩形內(nèi)部一點D在雙曲線y=上,DE⊥AB于點E,DF⊥BC于點F,若四邊形DEBF為正方形,則點D的坐標(biāo)是( )
A. (2,6) B. (3,4) C. (4,3) D. (6,2)
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【題目】已知如圖①,BP、CP分別是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分線,BQ、CQ分別是∠PBC、∠PCB的角平分線,BM、CN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線,∠BAC=α.
(1)當(dāng)α=40°時,∠BPC= °,∠BQC= °;
(2)當(dāng)α= °時,BM∥CN;
(3)如圖②,當(dāng)α=120°時,BM、CN所在直線交于點O,求∠BOC的度數(shù);
(4)在α>60°的條件下,直接寫出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之間的數(shù)量關(guān)系: .
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【題目】已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A(0,3),(,)兩點.
(1)求b、c的值.
(2)二次函數(shù)的圖像與軸是否有公共點?若有,求公共點的坐標(biāo),若沒有,請說明情況.
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【題目】“單詞的記憶效率”是指復(fù)習(xí)一定量的單詞,一周后能正確默寫出的單詞個數(shù)與復(fù)習(xí)的單詞個數(shù)的比值.右圖描述了某次單詞復(fù)習(xí)中四位同學(xué)的單詞記憶效率與復(fù)習(xí)的單詞個數(shù)的情況,則這四位同學(xué)在這次單詞復(fù)習(xí)中正確默寫出的單詞個數(shù)最多的是( )
A. B. C. D.
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【題目】研究問題:一個不透明的盒中裝有若干個只有顏色不一樣的紅球與黃球.怎樣估算不同顏色球的數(shù)量?
操作方法:先從盒中摸出8個球,畫上記號放回盒中,再進行摸球試驗.摸球試驗的要求:先攪拌均勻,每次隨機摸出一個球,放回盒中,再繼續(xù).
活動結(jié)果:摸球試驗一共做了50次,統(tǒng)計結(jié)果如下表:
球的顏色 | 無記號 | 有記號 | ||
紅色 | 黃色 | 紅色 | 黃色 | |
摸到的次數(shù) | 18 | 28 | 2 | 2 |
推測計算.由上述的摸球試驗可推算:
(1)盒中紅球、黃球各占總球數(shù)的百分比是多少?
(2)盒中有紅球多少個?
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【題目】在研究相似問題時,甲、乙同學(xué)的觀點如下:
甲:將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴張,得到新三角形,它們的對應(yīng)邊間距為1,則新三角形與原三角形相似.
乙:將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴張,得到新的矩形,它們的對應(yīng)邊間距均為1,則新矩形與原矩形不相似.
對于兩人的觀點,下列說法正確的是( )
A. 兩人都對 B. 兩人都不對 C. 甲對,乙不對 D. 甲不對,乙對
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,,AB=AC,P是線段BC上一點,且.作點B關(guān)于直線AP的對稱點D, 連結(jié)BD,CD,AD.
(1)補全圖形.
(2)設(shè)∠BAP的大小為α.求∠ADC的大小(用含α的代數(shù)式表示).
(3)延長CD與AP交于點E,直接用等式表示線段BD與DE之間的數(shù)量關(guān)系.
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