Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（F不與A，B重合），過(guò)點(diǎn)F的反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與BC邊交于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)F為AB的中點(diǎn)時(shí)，求該反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)E的坐標(biāo)．

（2）設(shè)過(guò)（1）中的直線EF的解析式為y＝ax+b，直接寫(xiě)出不等式ax+b＜的解集．

（3）當(dāng)k為何值時(shí)，△AEF的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）y＝，E點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）；（2）0＜x＜或x＞3；（3）當(dāng)k的值為3時(shí)，△AEF的面積最大，最大面積為．

【解析】

（1）由條件可求得F點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），代入函數(shù)解析式可求得k，可求得反比例函數(shù)解析式，再令y=2代入可求得x的值，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由（1）的條件中E、F的坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象可求得答案；
（3）可用k分別表示出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，從而可表示出△AEF的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．

（1）∵四邊形OABC為矩形，OA＝3，OC＝2，

∴AB＝2，BC＝3，

∵F為AB的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（3，1），

∵點(diǎn)F在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，

∴k＝3×1＝3，

∴反比例函數(shù)解析式為y＝，

∵點(diǎn)E在BC上，

∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，

在y＝中，令y＝2，可求x＝，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）；

（2）不等式ax+b＜的解集即直線在反比例函數(shù)下方時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍，

由（1）可知點(diǎn)E、F兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、3，

∴不等式ax+b＜的解集為：0＜x＜或x＞3；

（3）由題意可知點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為為2，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為3，且E、F在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，

∴可設(shè)E（，2），F（3，），

∴AF＝，CE＝，

∴BE＝BC﹣CE＝3﹣，

∴S△AEF＝AFBE＝（3﹣）＝﹣k2+＝﹣（k﹣3）2+，

∵﹣＜0，

∴S△AEF是關(guān)于k的開(kāi)口向下的拋物線，

∴當(dāng)k＝3時(shí)，S△AEF有最大值，最大值為，

即當(dāng)k的值為3時(shí)，△AEF的面積最大，最大面積為．