【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC=1,CD=,DA=1,且∠B=90°.求:
(1)∠DAC的度數(shù);
(2)四邊形ABCD的面積(結果保留根號);
(3)將△ABC沿AC翻折至△AB′C,如圖所示,連接B′D,求△AB′D的面積.
【答案】(1)∠DAC=90°;(2);(3).
【解析】
(1)由于AB=BC=1,且∠B=90°根據(jù)勾股定理即可求出AC的長度,而CD=,DA=1,利用勾股定理的逆定理即可證明△ACD是直角三角形,由此即可求出∠DAC的度數(shù);
(2)首先把求四邊形ABCD的面積分割為求△ABC和△ACD的面積,然后利用三角形的面積公式可以分別求出這兩個三角形的面積,最后就可以求出四邊形ABCD的面積;
(3)作出△AB′D的邊AB′邊上的高DE,證明△ADE為等腰直角三角形,從而利用勾股定理可求出DE的長,進一步可得出△AB′D的面積.
解:(1)∵AB=BC=1,∠B=90°,
∴∠BAC=∠ACB=45°,AC==.
又∵CD=,DA=1,
∴AC2+DA2=CD2.
∴△ADC為直角三角形,∠DAC=90°.
(2)∵S△ABC=AB·BC=,
S△ADC=AD·AC=,
∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=.
(3)過點D作DE⊥AB′,垂足為E,
由(1)知∠DAC=90°.
根據(jù)折疊可知∠B′AC=∠BAC=45°,AB=AB′=1,S△AB′C=S△ABC=.
∴∠DAE=∠DAC-∠B′AC=45°,∴∠DAE=∠AED=45°,
∴AE=DE.
在Rt△ADE中,AE2+DE2=AD2,
∴2DE2=1.∴DE=.
∴S△ADB′=×AB′×DE=×1×=.
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【題目】完成下面的證明:已知,如圖,AB∥CD∥GH,EG平分∠BEF,FG平分∠EFD,求證:∠EGF=90°
證明:∵HG∥AB(已知)
∴∠1=∠3
又∵HG∥CD(已知)
∴∠2=∠4
∵AB∥CD(已知)
∴∠BEF+ =180°
又∵EG平分∠BEF(已知)
∴∠1=∠
又∵FG平分∠EFD(已知)
∴∠2=∠
∴∠1+∠2=( )
∴∠1+∠2=90°
∴∠3+∠4=90° 即∠EGF=90°.
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【題目】如圖,一塊長和寬分別為60厘米和40厘米的長方形鐵皮,要在它的四角截去四個相等的小正方形,折成一個無蓋的長方體水槽,使它的底面積為800平方厘米.求截去正方形的邊長.
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【題目】如圖,直線與直線相交于點,且點的縱坐標為,直線交軸于點將直線向上平移個單位得直線,交軸于點,交直線于點且點的橫坐標為
(1)求直線的解析式;
(2)連接求的面積.
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【題目】如圖,在直角坐標系內(nèi),正方形如圖擺放,已知頂點 A(a,0),B(0,b) ,則頂點C的坐標為( )
A.(-b,a b)B.(-b,b - a)C.(-a,b - a)D.(b,b -a)
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【題目】如圖,一艘船由A港沿北偏東60°方向航行10km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港.
(1)求A,C兩港之間的距離(結果保留到0.1km,參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732);
(2)確定C港在A港的什么方向.
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【題目】某小組做“用頻率估計概率”的實驗時,繪出的某一結果出現(xiàn)的頻率折線圖,則符合這一結果的實驗可能是( 。
A. 拋一枚硬幣,出現(xiàn)正面朝上
B. 擲一個正六面體的骰子,出現(xiàn)3點朝上
C. 一副去掉大小王的撲克牌洗勻后,從中任抽一張牌的花色是紅桃
D. 從一個裝有2個紅球1個黑球的袋子中任取一球,取到的是黑球
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【題目】如圖,O為銳角三角形ABC的外心,四邊形OCDE為正方形,其中E點在△ABC的外部,判斷下列敘述何者正確( )
A.O是△AEB的外心,O是△AED的外心
B.O是△AEB的外心,O不是△AED的外心
C.O不是△AEB的外心,O是△AED的外心
D.O不是△AEB的外心,O不是△AED的外心
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【題目】如圖,AB∥CD,OE平分∠BOC,OF⊥OE,OP⊥CD,∠ABO=40°,則下列結論:①∠BOE=70°;②OF平分∠BOD;③∠POE=∠BOF;④∠POB=2∠DOF.其中正確結論有_____填序號)
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